Quantos são os números inteiros positivos e pares de dois algarismos

(UECE 2022.2) Se p é a quantidade de números inteiros positivos formados por três algarismos pares e distintos, e q é a quantidade de números inteiros positivos formados por três algarismos ímpares e distintos, então, o valor do módulo de p - q é 

A) 28.
B) 0.
C) 12.
D) 5.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2022.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 01/05/2022.

Sejam:

Pares =  {0,2,4,6,8}

Ímpares = {1,3,5,7,9} 

q (quantidade de números inteiros positivos formados por três algarismos ímpares e distintos)

p (quantidade de números inteiros positivos formados por três algarismos pares e distintos)

* Note que no cálculo de p, o 0 não pode ocupar a primeira posição, pois isso fará com que o número seja formado por apenas 2 algarismos.  Por exemplo, se construirmos o número 024 ele será simplesmente o 24, ou seja, terá apenas dois algarismos.  Por isso, no primeiro dígito, colocamos 4 possibilidades de números, são eles {2,4,6,8}, a partir do segundo dígito o 0 já pode aparecer.  Como já colocamos 1 número no primeiro dígito, então nos restam mais 4 para o segundo dígito e na sequência mais 3 números podem ocupar o terceiro dígito.  É por este motivo que temos que p é igual ao produto 4 x 4 x 3.

** Uma forma alternativa de encontrar (p = 48) seria fazer o seguinte: calculamos 5 x 4 x 3 = 60, depois subtraímos todos aqueles números em que o 0 aparece no primeiro dígito.  Para encontrar essa quantidade, fixamos o 0 na primeira posição e nos sobram 2 dígitos a serem preenchidos com 4 números, então essa quantidade será igual a 4 x 3 = 12.  Finalmente, é só subtrair 60-12 = 48.

Para encerrarmos a resolução, basta encontrar o valor do módulo de p - q 

| p - q | = | 48 - 60 | = | -12 | = 12

Alternativa correta é a letra c).

Números pares e ímpares são caracterizações dos números inteiros. Chamamos um número inteiro de par caso ele seja divisível por 2 e de ímpar caso ele não seja divisível por 2. O último algarismo dos números pares é 0, 2, 4, 6 ou 8; já dos números ímpares é 1, 3, 5, 7 ou 9.

Leia também: O que são múltiplos e divisores de um número?

Tópicos deste artigo

• 1 - O que são números pares?
• 2 - O que são números ímpares?
  • → Propriedades dos números ímpares
• 3 - Quais são os números pares e ímpares de 1 a 100?
• 4 - Exercícios resolvidos sobre números pares e ímpares

O que são números pares?

Um número inteiro é par se ele é divisível por 2, ou seja, se a divisão desse número por 2 tem resto igual a 0.

Consequentemente, todos os múltiplos de 2 são pares. Assim, todo número par pode ser escrito na forma , em que é um número inteiro.

Isso significa que um número inteiro é par se o algarismo da ordem das unidades é 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplo 1:

Explique por que o número 32 é par.

Resolução:

Podemos ver isso de três formas:

• Perceba que dividindo 32 por 2 obtemos 16 como quociente e 0 como resto. Portanto, 32 é um número par.

• Podemos também visualizar o número 32 como a multiplicação entre os números 2 e 16. Assim, 32 é múltiplo de 2 e, portanto, é um número par.

• Observe que o número 32 possui o algarismo 2 na ordem das unidades. Logo, 32 é par.

Exemplo 2:

Verifique se o número 10.634 é par ou não.

Resolução:

Perceba que o algarismo na ordem das unidades (o último algarismo) é 4. Logo, esse número é par.

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→ Propriedades dos números pares

Propriedades são características em comum a certos elementos. Assim, vejamos algumas propriedades relacionadas à soma e produto entre números pares.

◦ A soma de dois números pares resulta em um número par

O número 38 é par, e o número 66 também é par. A soma desses números é igual a 104, que também é um número par, pois o algarismo das unidades é 4.

◦ O produto de dois números pares resulta em um número par

O número 12 é par, e o número 8 também é par. O produto desses números é 96, que também é um número par, pois o algarismo das unidades é 6.

O que são números ímpares?

Um número inteiro é ímpar se ele não é divisível por 2, ou seja, se a divisão desse número por 2 tem resto igual a 1.

Consequentemente, um número é ímpar se ele for um múltiplo de 2 acrescido de uma unidade. Assim, todo número ímpar pode ser escrito na forma , em que é um número inteiro.

Isso significa que um número inteiro é ímpar se o algarismo da ordem das unidades é 1, 3, 5, 7 ou 9.

Exemplo 1:

Explique por que o número 27 é ímpar.

Resolução:

Podemos explicar isso de três maneiras:

• Perceba que dividindo 27 por 2 obtemos 13 como quociente e 1 como resto. Portanto, 27 é um número ímpar.

• Observe que podemos visualizar o número 27 como a multiplicação entre os números 2 e 13 acrescida de 1 (), portanto 27 não é múltiplo de 2, sendo assim um número ímpar.

• Por fim, perceba que 27 é ímpar, pois possui o algarismo 7 na ordem das unidades.

Exemplo 2:

Verifique se o número 304.761 é ímpar ou não.

Resolução:

Note que o algarismo na ordem das unidades (o último algarismo) é 1. Logo, esse número é ímpar.

Importante: Concluímos que cada número inteiro é, necessariamente, classificado como par ou ímpar.

→ Propriedades dos números ímpares

Vejamos algumas propriedades relacionadas à soma e produto entre números ímpares e também entre números pares e ímpares.

◦ A soma de dois números ímpares resulta em um número par

Os números 47 e 53 são ímpares. Sua soma é igual a 100, que é um número par, pois o algarismo das unidades é 0.

◦ O produto de dois números ímpares resulta em um número ímpar

Os números 13 e 7 são ímpares. Seu produto é 91, que é um número ímpar, pois o algarismo das unidades é 1.

◦ A soma de um número par por um número ímpar resulta em um número ímpar

O número 24 é par, e o número 31 é ímpar. Sua soma é 55, que é um número ímpar, pois o algarismo das unidades é 5.

◦ O produto de um número par por um número ímpar resulta em um número par

O número 14 é par, e o número 3 é ímpar. Seu produto é 42, que é um número par, pois o algarismo das unidades é 2.

Quais são os números pares e ímpares de 1 a 100?

Lembre-se que os números pares possuem 0, 2, 4, 6 ou 8 como algarismo da ordem das unidades enquanto os números ímpares possuem 1, 3, 5, 7 ou 9 como algarismo da ordem das unidades.

Levando isso em conta, reunimos abaixo todos os números pares (destacados em verde) e todos os números ímpares (destacados em cinza) de 1 a 100.

Saiba mais: Números complexos — o conjunto de números formados por uma parte real e uma parte imaginária

Exercícios resolvidos sobre números pares e ímpares

Questão 1

Três amigos decidiram se reunir depois da aula de Matemática para estudar um pouco mais sobre números pares e ímpares. Assim, cada um fez afirmações sobre as propriedades de soma e produto entre números pares e ímpares:

• Alan: A soma entre dois números pares resulta em um número par, e o produto de dois números ímpares resulta em um número par.

• Beatriz: A soma de entre dois números ímpares resulta em um número par, e o produto entre um ímpar e um par resulta em um número par.

• Camila: A soma entre um número par e um ímpar resulta em um número ímpar, e o produto de dois números pares resulta em um número par.

Entre os amigos, aqueles que fizeram apenas afirmações corretas foram:

A) Alan e Beatriz.

B) Alan e Camila.

C) Beatriz e Camila.

D) Nenhum dos três amigos.

Resolução:

Alternativa C

Perceba que o único que fez uma afirmação equivocada foi Alan, pois o produto entre dois números ímpares resulta em um número ímpar.

Questão 2

(Unicamp) Considere três números inteiros cuja soma é um número ímpar. Entre esses três números, a quantidade de números ímpares é igual a:

A) 0 ou 1.

B) 1 ou 2.

C) 2 ou 3.

D) 1 ou 3.

Resolução:

Alternativa D

Vejamos as possibilidades de soma de três números que resultam em um número par ou ímpar:

• Se um deles for par e o resto for ímpar: par + ímpar + ímpar = par

• Se um deles for ímpar e o resto for par: par + par + ímpar = ímpar

• Se todos forem pares: par + par + par = par

• Se todos forem ímpares: ímpar + ímpar + ímpar = ímpar

Assim, a soma de três números inteiros será ímpar se apenas um desses números for ímpar ou se todos os três números forem ímpares.

Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática

Quantos são os números inteiros positivos e pares de 2 algarismos?

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