Observe atentamente os gráficos e comente sobre o significado dos coeficientes em cada reta

A função afim, também chamada de função do 1º grau, é uma função f : ℝ→ℝ, definida como f(x) = ax + b, sendo a e b números reais. As funções f(x) = x + 5, g(x) = 3√3x - 8 e h(x) = 1/2 x são exemplos de funções afim.

Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente de x e representa a taxa de crescimento ou taxa de variação da função. Já o número b é chamado de termo constante.

Gráfico de uma Função do 1º grau

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Desta forma, para construirmos seu gráfico basta encontrarmos pontos que satisfaçam a função.

Exemplo

Construa o gráfico da função f (x) = 2x + 3.

Solução

Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores arbitrários para x, substituir na equação e calcular o valor correspondente para a f (x).

Sendo assim, iremos calcular a função para os valores de x iguais a: - 2, - 1, 0, 1 e 2. Substituindo esses valores na função, temos:

f (- 2) = 2. (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1
f (- 1) = 2 . (- 1) + 3 = - 2 + 3 = 1
f (0) = 2 . 0 + 3 = 3
f (1) = 2 . 1 + 3 = 5
f (2) = 2 . 2 + 3 = 7

Os pontos escolhidos e o gráfico da f (x) são apresentados na imagem abaixo:

No exemplo, utilizamos vários pontos para construir o gráfico, entretanto, para definir uma reta bastam dois pontos.

Para facilitar os cálculos podemos, por exemplo, escolher os pontos (0,y) e (x,0). Nestes pontos, a reta da função corta o eixo Ox e Oy respectivamente.

Coeficiente Linear e Angular

Como o gráfico de uma função afim é uma reta, o coeficiente a de x é também chamado de coeficiente angular. Esse valor representa a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

O termo constante b é chamado de coeficiente linear e representa o ponto onde a reta corta o eixo Oy. Pois sendo x = 0, temos:

y = a.0 + b ⇒ y = b

Quando uma função afim apresentar o coeficiente angular igual a zero (a = 0) a função será chamada de constante. Neste caso, o seu gráfico será uma reta paralela ao eixo Ox.

Abaixo representamos o gráfico da função constante f (x) = 4:

Ao passo que, quando b = 0 e a = 1 a função é chamada de função identidade. O gráfico da função f (x) = x (função identidade) é uma reta que passa pela origem (0,0).

Além disso, essa reta é bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, divide os quadrantes em dois ângulos iguais, conforme indicado na imagem abaixo:

Temos ainda que, quando o coeficiente linear é igual a zero (b = 0), a função afim é chamada de função linear. Por exemplo as funções f (x) = 2x e g (x) = - 3x são funções lineares.

O gráfico das funções lineares são retas inclinadas que passam pela origem (0,0).

Representamos abaixo o gráfico da função linear f (x) = - 3x:

Função Crescente e Decrescente

Uma função é crescente quando ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) será também cada vez maior.

Já a função decrescente é aquela que ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) será cada vez menor.

Para identificar se uma função afim é crescente ou decrescente, basta verificar o valor do seu coeficiente angular.

Se o coeficiente angular for positivo, ou seja, a é maior que zero, a função será crescente. Ao contrário, se a for negativo, a função será decrescente.

Por exemplo, a função 2x - 4 é crescente, pois a = 2 (valor positivo). Entretanto, a função - 2x + - 4 é decrescente visto que a = - 2 (negativo). Essas funções estão representadas nos gráficos abaixo:

Leia também sobre o que é função?

Exercícios Resolvidos

Exercício 1

Em uma determinada cidade, a tarifa cobrada pelos taxistas corresponde a uma parcela fixa chamada de bandeirada e uma parcela referente aos quilômetros rodados. Sabendo que uma pessoa pretende fazer uma viagem de 7 km em que o preço da bandeirada é igual a R$ 4,50 e o custo por quilômetro rodado é igual a R$ 2,75, determine:

a) uma fórmula que expresse o valor da tarifa cobrada em função dos quilômetros rodados para essa cidade.
b) quanto irá pagar a pessoa referida no enunciado.

Ver Resposta

a) De acordo com os dados, temos que b = 4,5, pois a bandeirada não depende da quantidade de quilômetros percorridos.

Cada quilômetro rodado deverá ser multiplicado por 2,75. Sendo assim, esse valor será igual a taxa de variação, ou seja, a = 2,75.

Considerando p (x) o preço da tarifa, podemos escrever a seguinte fórmula para expressar esse valor:

p (x) = 2,75 x + 4,5

b) Agora que já definimos a função, para calcular o valor da tarifa basta substituir 7 km no lugar do x.

p (7) = 2,75 . 7 + 4,5 = 19,25 + 4,5 = 23,75

Portanto, a pessoa deverá pagar R$ 23,75 por uma viagem de 7 km.

Quer fazer mais exercícios de função afim? Então não deixe de acessar Exercícios de Função Afim.

Exercício 2

O dono de uma loja de moda praia teve uma despesa de R$ 950,00 na compra de um novo modelo de biquíni. Ele pretende vender cada peça deste biquíni por R$ 50,00. A partir de quantas peças vendidas ele passará a ter lucro?

Ver Resposta

Considerando x a quantidade de peças vendidas, o lucro do comerciante será dado pela seguinte função:

f (x) = 50.x - 950

Ao calcularmos f (x) = 0, iremos descobrir a quantidade de peças necessárias para que o comerciante não tenha nem lucro, nem prejuízo.

50.x - 950 = 0
50.x = 950
x = 950 / 50
x = 19

Assim, se vender acima de 19 peças terá lucro, se vender menos que 19 peças terá prejuízo.

Para saber mais, leia também:

• Equação do Primeiro Grau
• Equação do 1º Grau - Exercícios
• Função Quadrática
• Função Quadrática - Exercícios
• Função Exponencial
• Função Modular
• Função Injetora
• Função Bijetora
• Função Sobrejetora
• Função Polinomial
• Fórmulas de Matemática

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

O que o coeficiente a nos indica sobre o gráfico da reta?

Qual o significado físico do coeficiente angular da reta obtida no gráfico?

Qual é o significado do coeficiente angular dessa função?

Qual o significado físico do coeficiente linear da reta?