Qual e o sinal de um produto resultado de uma multiplicação que tem dois números inteiros negativos?

Índice

Introdução

Quando vamos realizar alguma operação (soma, subtração, multiplicação ou divisão) que envolva números negativos, é preciso estar atento em qual será o sinal do resultado para não cometer nenhum erro. Vamos te ajudar a entender como essas regras funcionam.

O que é a Regra de Sinais?

É uma regra que te diz qual o sinal do número resultante de uma operação matemática, podendo o resultado ser positivo, negativo ou nulo.

Para que serve a Regra de Sinais?

Ela serve para que não haja confusão nas operações matemáticas realizadas, principalmente naquelas que envolvem números negativos.

Módulo de um número

Uma coisa importante para se entender as regras de sinais é o módulo de um número, que nada mais é do que o valor do número sem o sinal, por exemplo:

• O módulo de -5 é 5 e o módulo de 5 também é 5
• O módulo de -3 é 3 e o módulo de 3 também é 3

Outro modo de escrever isso é da forma |-5| = 5 (O módulo de -5 é 5).

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Soma de números de mesmo sinal

Ao somarmos dois números de mesmo sinal, estamos aumentando o módulo do resultado. Pense assim: “a soma de dois números positivos, torna o resultado ainda mais positivo” e “a soma de dois números negativos, torna o resultado ainda mais negativo”. Neste último caso, podemos pensar como o aumento de uma dívida.

Soma de dois números positivos

Ao se somar dois números positivos fazemos a soma normalmente. Por exemplo:

• 5 + 3 = 8
• 7 + 9 = 16

Soma de um número positivo com um número negativo

Quando somamos um número positivo a um negativo, estamos, na verdade, subtraindo o módulo daquele número, por exemplo:

• 5 + (-2) = 5 - 2 = 3

Veja que ao se somar o -2 ao 5, estamos subtraindo 2 de 5. Outro exemplo nos mostra que essa soma pode ser negativa:

• 2 + (-5) = 2 - 5 = -3

Ao somarmos um número positivo com um negativo, o sinal do resultado será o sinal do número de maior módulos, por exemplo:

• Se Maria está com 10 reais negativos na conta e deposita 7 reais, ela ficará com 3 reais negativos na conta. Isso ocorre pois no começo, Maria estava com -10 reais, então ela adicionou +7 reais à conta, resultando em -3 reais na conta, ou seja, -10 + 7 = -3.
• 2 + (-7) =  -5
• (-4) + 8 =  4

Soma de dois números negativos

Ao se somar dois números negativos, o resultado sempre será o negativo da soma dos módulos, por exemplo:

• -3 + (-4) = -(3 + 4) = -7 (devo 3 e devo mais 4, logo devo 7)
• -5 + (-8) = -(5 + 8) = -13 (devo 5 e devo mais 8, logo devo 13)

Exemplo: A conta bancária de Maria não anda nada bem. Ela está com uma dívida de R$200,00 e ainda precisará pagar um boleto de R$50,00 para fechar o mês. Qual o será o saldo da conta bancária de Maria após o pagamento do boleto?

Resolução: Adicionando 50 reais na dívida de 200, temos uma dívida de 250 reais. De um modo mais esquemático, podemos pensar assim:

- 200 + (-50) = - 250.

Soma de números de sinais diferentes

Soma de um número positivo com um número negativo

Neste caso, vale a regra de que se faz a diferença entre os módulos dos números e o resultado tem o mesmo sinal daquele que tem o maior módulo. Por exemplo:

• 7 + (-5) = 2 (já que 7 - 5 = 2 e 7 é maior que 5, sendo o resultado positivo)
• 7 + (-9) = -2 (já que 9 - 7 = 2 e 9 é maior que 7, sendo o resultado negativo)
• -4 + 5 = 1 (já que 5 - 4 = 1 e 5 é maior que 4, sendo o resultado positivo)
• -5 + 4 = -1 (já que 5 - 4 = 1 e 5 é maior que 4, sendo o resultado negativo)
• -2 + 2 = 0 (já que 2 - 2 = 0)

Também podemos pensar que quando somamos um número positivo a um negativo, estamos, na verdade, subtraindo o módulo daquele número, por exemplo:

• 5 + (-2) = 5 - 2 = 3

Veja que ao se somar o -2 ao 5, estamos subtraindo 2 de 5. Outro exemplo nos mostra que essa soma pode ser negativa:

• 2 + (-5) = 2 - 5 = -3 (imagine que você tinha 2 reais e, ao comprar algo de 5 reais, fica com uma dívida de 3 reais)

Ao somarmos um número positivo com um negativo, o sinal do resultado será o sinal do número de maior módulo! Por exemplo:

• Se Maria está com 10 reais negativos na conta e deposita 7 reais, ela ficará com 3 reais negativos na conta. Isso ocorre, pois, no começo, Maria estava com -10 reais, então ela adicionou +7 reais à conta, resultando em -3 reais na conta, ou seja, -10 + 7 = -3.
• 2 + (-7) =  -5
• (-4) + 8 =  4

Subtração envolvendo números negativos

Podemos pensar na subtração como a operação inversa da adição. Desta forma, somar um número negativo é equivalente a subtrair um número positivo. Por exemplo:

• 7 + (-5) = 7 - 5 = 2
• 1 + (-5) = 1 - 5 = -4
• -7 + (-5) = -7 - 5 = -12

A escrita -(-1) pode ser interpretada como o oposto de -1, ou seja, 1. Assim, no momento que vamos subtrair um número negativo, a ideia é equivalente a somar um número positivo. Por exemplo:

• 7 - (-4) = 7 + 4 = 11
• -1 - (-5) = -1 + 5 = 4
• -10 - (-2) = -10 + 2 = -8

Multiplicação de números de mesmo sinal

A multiplicação de dois números de mesmo sinal sempre resulta em um número positivo. Veja os casos a seguir:

Multiplicação de dois números positivos

Ao multiplicardois números positivos, fazemos a multiplicação normalmente. Por exemplo:

• 5 ⋅ 3 = 15
• 7 ⋅ 9 = 63

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Multiplicação de dois números negativos

A multiplicação de dois números negativos sempre resulta em um número positivo e o módulo do resultado é a multiplicação dos módulos, por exemplo:

• (−4)⋅(−3)=+(4⋅3)=12
•  
• (−8)⋅(−5)=+(8⋅5)=40
•  
• (−6)⋅(−7)=+(6⋅7)=42

Multiplicação de números com sinais diferentes

Multiplicação de um número positivo com um número negativo

A multiplicação de um número positivo com um número negativo sempre resulta em um número negativo, e o módulo do resultado é a multiplicação dos módulos, por exemplo:

• 7⋅(−2)=−(7⋅2)=−14
•  
• 5⋅(−4)=−(5⋅4)=−20
•  
• −7⋅8=−(7⋅8)=−56

Divisão de números de mesmo sinal 

Neste caso, aplicam-se as mesmas regras da multiplicação vistas anteriormente.

Divisão de dois números positivos

Ao dividir dois números positivos, fazemos a divisão normalmente. Por exemplo:

• 15 : 3 = 5
• 63 : 9 = 7

Divisão de dois números negativos

A divisão de dois números negativos sempre resulta em um número positivo e o módulo do resultado é a divisão dos módulos, por exemplo:

• (−14) : (−2) = + (14 : 2) = 7
• (−18) : (−5) = + (18 : 5) = 3,6
• (−1) : (−3) = + (1 : 3) = 0,333…

Divisão de números com sinais opostos

Divisão de um número positivo por um número negativo ou de um número negativo por um número positivo

A divisão de um número positivo por um número negativo ou de um número negativo por um número positivo sempre resulta em um número negativo, e o módulo do resultado é a divisão dos módulos, por exemplo:

• 15 : (−3) = − (15 : 3) = −5
• 7 : (−2) = − (7 : 2) = −3,5
• −7 : 7 = − (7 : 7) = −1

Resumo

• Ao se somar dois números de mesmo sinal, some os módulos e mantenha o sinal;
• Ao se somar dois números de sinais diferentes o sinal do maior módulo permanece;
• Ao se subtrair um número, podemos pensar que estamos somando o oposto deste número e usar a mesma regra da adição.
• Ao se multiplicar dois números com mesmo sinal o resultado será positivo;
• Ao se multiplicar dois números de sinais opostos o resultado será negativo.
• Ao se dividir dois números com mesmo sinal o resultado será positivo;
• Ao se dividir dois números de sinais opostos o resultado será negativo.

Por que menos com menos dá mais?

Esta é uma pergunta que muitos alunos fazem e ela deve ser respondida com muito cuidado. Primeiramente, porque nem sempre “menos com menos dá mais”. Pense na seguinte operação: - 4 - 7 = - 11. Evidentemente, aqui estamos subtraindo 7 de -4, o que resultaria em -11, que é um número negativo.

Quando se faz esta pergunta, geralmente o que se busca é uma resposta para “Por que um número negativo vezes outro número negativo resulta em um número positivo?”. Neste caso, sem entrar em grandes formalizações matemáticas, trazemos algumas possíveis abordagens.

1ª) Uma maneira de pensar em como esses resultados fazem sentido pode ser imaginando o seguinte problema: “Qual seria o dobro de uma dívida de 7 reais?” De imediato, pensamos em uma dívida de 14 reais. Logo, teríamos que 2 ⋅ (-7) = -14, trazendo uma conclusão imediata que um número positivo vezes um número negativo deve resultar em um número negativo.

Para que as operações matemáticas tenham sentido, podemos pensar na continuação da seguinte sequência de operações:

3 ⋅ (-5) = -15

2 ⋅ (-5) = -10

1 ⋅ (-5) = -5

0 ⋅ (-5) = 0

-1 ⋅ (-5) = ?

-2 ⋅ (-5) = ?

-3 ⋅ (-5) = ?

Note que os resultados aumentam de 5 em 5, o que tornaria lógico dizermos que:

-1 ⋅ (-5) = 5

-2 ⋅ (-5) = 10

-3 ⋅ (-5) = 15

Além disso, o sinal negativo na frente do primeiro número também traz a ideia de oposto, ou seja, o oposto de 1 ⋅ (-5) é -1 ⋅ (-5) e, como 1 ⋅ (-5) = -5, então -1 ⋅ (-5) = 5.

2ª) Outro argumento utiliza a validade da propriedade distributiva. Vejamos no seguinte exemplo. Sabemos que todo número vezes zero dá zero, logo:

(-3) ⋅ 0 = 0

Zero pode ser escrito como a soma de um número com seu oposto, no caso vamos trocar o zero por -2 + 2.

(-3) ⋅ (-2 + 2) = 0

Utilizando a propriedade distributiva, temos:

(-3) ⋅ (-2) + (-3) ⋅ 2 = 0

Já é conhecido que (-3) ⋅ 2 = -6. Assim:

(-3) ⋅ (-2) + (-6) = 0

Que número somado com (-6) resulta em zero? O número seis. Logo (-3) ⋅ (-2) = 6.

3ª) Outra interpretação possível para a multiplicação está relacionada com a reta numérica. Multiplicar um número por -1 dá como resultado o oposto deste número.

Fazendo -1 ⋅ 2, teríamos:

Ou seja, -1 ⋅ 2 = -2.

E se fizermos (-1) ⋅ (-2)? Utilizando o mesmo raciocínio, teríamos:

Ou seja, (-1) ⋅ (-2) = 2. 

Generalizando este raciocínio, chegamos à conclusão que a multiplicação de dois números negativos deve resultar em um número positivo.

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