O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos lados do triângulo retângulo. Essa figura geométrica é formada por um ângulo interno de 90°, chamado de ângulo reto. Show
O enunciado desse teorema é:
Fórmula do teorema de PitágorasSegundo o enunciado do Teorema de Pitágoras, a fórmula é representada da seguinte maneira: a2 = b2 + c2 Sendo, a: hipotenusa A hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo e o lado oposto ao ângulo reto. Os outros dois lados são os catetos. O ângulo formado por esses dois lados tem medida igual a 90º (ângulo reto). Identificamos ainda os catetos, de acordo com um ângulo de referência. Ou seja, o cateto poderá ser chamado de cateto adjacente ou cateto oposto. Quando o cateto está junto ao ângulo de referência, é chamado de adjacente, por outro lado, se está contrário a este ângulo, é chamado de oposto. Veja a seguir três exemplos de aplicações do teorema de Pitágoras para as relações métricas de um triângulo retângulo. Exemplo 1: calcular a medida da hipotenusa Se um triângulo retângulo apresenta 3 cm e 4 cm como medidas dos catetos, qual a hipotenusa desse triângulo? Portanto, os lados do triângulo retângulo são 3 cm, 4 cm e 5 cm. Exemplo 2: calcular a medida de um dos catetos Determine a medida de um cateto que faz parte de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é 20 cm e o outro cateto mede 16 cm. Portanto, as medidas dos lados do triângulo retângulo são 12 cm, 16 cm e 20 cm. Exemplo 3: comprovar se um triângulo é retângulo Um triângulo apresenta os lados com medidas 5 cm, 12 cm e 13 cm. Como saber se é um triângulo retângulo? Para provar que um triângulo retângulo é verdadeiro as medidas dos seus lados devem obedecer ao Teorema de Pitágoras. Como as medidas dadas satisfazem o teorema de Pitágoras, ou seja, o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos, então podemos dizer que o triângulo é retângulo. Leia também: Relações Métricas no Triângulo Retângulo Triângulo PitagóricoQuando as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros positivos, o triângulo é chamado de triângulo pitagórico. Neste caso, os catetos e a hipotenusa são denominados de “terno pitagórico” ou “trio pitagórico”. Para verificar se três números formam um trio pitagórico, usamos a relação a2 = b2 + c2. O mais conhecido trio pitagórico é representado pelos números: 3, 4, 5. Sendo a hipotenusa igual a 5, o cateto maior igual a 4 e o cateto menor igual a 3. Observe que a área dos quadrados desenhados em cada lado do triângulo relacionam-se tal como o teorema de Pitágoras: a área do quadrado no lado maior corresponde à soma das áreas dos outros dois quadrados. É interessante notar que, os múltiplos desses números também formam um terno pitagórico. Por exemplo, se multiplicarmos por 3 o trio 3, 4 e 5, obtemos os números 9, 12 e 15 que também formam um terno pitagórico. Além do terno 3, 4 e 5, existe uma infinidade de outros ternos. Como exemplo, podemos citar:
Leia também: Trigonometria no Triângulo Retângulo Quem foi Pitágoras?Segundo a história Pitágoras de Samos (570 a.C. - 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego que fundou a Escola Pitagórica, localizada no sul da Itália. Também chamada de Sociedade Pitagórica, incluía estudos de Matemática, Astronomia e Música. Embora as relações métricas do triângulo retângulo já fossem conhecidas pelos babilônicos, que viveram muito antes de Pitágoras, acredita-se que a primeira demonstração que esse teorema se aplicava a qualquer triângulo retângulo tenha sido feita por Pitágoras. O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais conhecidos, importantes e utilizados na matemática. Ele é imprescindível na resolução de problemas da geometria analítica, geometria plana, geometria espacial e trigonometria. Além do teorema, outras importantes contribuições da Sociedade Pitagórica para a Matemática foram:
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Demonstrações do Teorema de PitágorasExistem diversas formas de provar o teorema de Pitágoras. Por exemplo, o livro The Pythagorean Proposition, publicado em 1927, apresentava 230 formas de demonstrá-lo e uma outra edição, lançada em 1940, aumentou para 370 demonstrações. Assista o vídeo a seguir e confira algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras. Exercícios comentados sobre o Teorema de PitágorasQuestão 1(PUC) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do triângulo? a) 3 Ver Resposta Alternativa correta: b) 4. Pela informação do enunciado, sabemos que a2 + b2 + c2 = 32. Por outro lado, pelo teorema de Pitágoras temos que a2 = b2 + c2 . Substituindo o valor de b2+c2 por a2 na primeira expressão, encontramos: a2 + a2 =32 ⇒ 2 . a2 = 32 ⇒ a2 = 32/2 ⇒ a2 = 16 ⇒ a = √16 Para mais questões, veja: Teorema de Pitágoras - Exercícios Questão 2(Enem) Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a: a) 1,9m Ver Resposta Alternativa correta: b) 2,1m. O comprimento total do corrimão será igual a soma dos dois trechos de comprimento igual a 30 cm com o trecho que não conhecemos a medida. Observamos pela figura, que o trecho desconhecido representa a hipotenusa de um triângulo retângulo, cuja medida de um dos cateto é igual a 90 cm. Para encontrar a medida do outro cateto, devemos somar o comprimento dos 5 degraus. Sendo assim, temos que b = 5 . 24 = 120 cm. Para calcular a hipotenusa, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para esse triângulo. a2 = 902 + 1202 ⇒ a2 = 8100 + 14 400 ⇒ a2 = 22 500 ⇒ a = √22 500 = 150 cm Note que poderíamos ter usado a ideia dos ternos pitagóricos para calcular a hipotenusa, visto que os catetos (90 e 120) são múltiplos do terno 3, 4 e 5 (multiplicando todos os termos por 30). Desta forma, a medida total do corrimão será: 30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m Teste seus conhecimentos com Exercícios de Trigonometria Questão 3(UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo: Às folhas tantas de um livro de Matemática, (Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.) A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte a) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.” Ver Resposta Alternativa d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.” Saiba mais sobre o tema:
Como descobrir o valor dos ângulos de um triângulo?Meça dois ângulos de um triângulo, escreva cada medida. Por exemplo, dois dos ângulos de um triângulo poderiam ser de 55 graus e 25 graus. Some as duas medidas, 55 + 25 = 80 graus, é o total dos dois ângulos medidos. Subtraia o total dos dois ângulos conhecidos a 180 graus, portanto, 180-80 = 100 graus.
Quais são os números naturais consecutivos?Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são números consecutivos.
Qual as medidas dos ângulos internos de um triângulo?Em qualquer triângulo, a soma de seus ângulos internos mede 180º. Os triângulos possuem uma propriedade particular muito interessante relativa à soma de seus ângulos internos. Essa propriedade garante que em qualquer triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é igual a 180 graus.
Por que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180?Girando os triângulos e unindo um vértice de cada um, de modo que os ângulos α, β e θ tornem-se, dois a dois, adjacentes, temos um ângulo raso: Assim, a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer vale 180o.
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