Qual é o número de arestas é vértices de um poliedro de 30 faces triangulares?

Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.

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• Relação de Euler
• Poliedros platônicos
• Qual é o número de arestas é vértices de um poliedro de 30 faces triangulares?
• Quantas vértices tem um poliedro triangular?
• Qual é o número de vértices de uma pirâmide com 30 arestas?
• Quantas faces tem um poliedro com 30 arestas é 20 vértices?

Existem cinco poliedros regulares, que são apresentados a seguir:

Poliedro	Planificação	Elementos
Tetraedro		4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas
Hexaedro		6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas
Octaedro		8 faces triangulares 6 vértices 12 arestas
Dodecaedro		12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas
Icosaedro		20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas

Relação de Euler

Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:

V - A + F = 2

em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces. Observe os exemplos:

V=8   A=12    F=6 8 - 12 + 6 = 2

V = 12  A = 18   F = 8 12 - 18 + 8 = 2

Poliedros platônicos

Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:

a) for convexo;

b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;

c) toda face tiver o mesmo número de arestas;

d) for válida a relação de Euler.

Assim, nas figuras acima, o  primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.

Esta lista de exercícios possui questões resolvidas sobre poliedros, que são casos particulares de sólidos geométricos. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira

Os sólidos de Platão são conhecidos como os únicos poliedros regulares, ou seja, todas as faces são iguais. Dos poliedros a seguir, são considerados sólidos de Platão, exceto:

A) cubo.

B) dodecaedro.

C) tetraedro.

D) paralelepípedo.

E) icosaedro.

Um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices, então o número de arestas desse poliedro é:

A) 20.

B) 24.

C) 28.

D) 30.

E) 32.

(Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui:

A) 33 vértices e 22 arestas.

B) 12 vértices e 11 arestas.

C) 22 vértices e 11 arestas.

D) 11 vértices e 22 arestas.

E) 12 vértices e 22 arestas.

Analise o sólido geométrico a seguir:

Podemos afirmar que:

(I) esse sólido geométrico possui o total de 10 arestas.

(II) esse sólido geométrico é composto por 5 retângulos e 2 pentágonos.

(III) esse sólido geométrico é um poliedro.

Marque a alternativa correta.

A) Somente I é falsa

B) Somente II é falsa

C) Somente III é falsa

D) Somente I e II são falsas

E) Somente I e III são falsas

Considere as afirmações a seguir sobre poliedros.

I → O cilindro é um poliedro, pois suas faces são formadas por círculos.

II → A pirâmide é um poliedro, pois sua base é um polígono e as suas faces laterais são triângulos.

III →  O trapézio é um poliedro, pois ele possui lados formados por polígonos e é fechado.

Marque a alternativa correta.

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

E) Todas as afirmativas são verdadeiras.

(Enem 2017) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia, mas conectada com a natureza.

A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na Figura 2 é

A) tetraedro.

B) pirâmide retangular.

C) tronco de pirâmide retangular.

D) prisma quadrangular reto.

E) prisma triangular reto.

Um poliedro pode ser classificado como convexo ou côncavo, dependendo do seu formato. Veja alguns poliedros.

A) Convexo, convexo e côncavo.

B) Côncavo, convexo e côncavo.

C) Convexo, côncavo e convexo.

D) Convexo, Convexo e côncavo.

E) Côncavo, côncavo e convexo.

Um garimpeiro encontrou uma pedra preciosa que possui o formato igual ao do poliedro a seguir:

Analisando o poliedro a seguir, podemos afirmar que a soma do número de faces, vértices e arestas é igual a:

A) 26.

B) 25.

C) 24.

D) 23.

E) 22.

(Cesgranrio) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de vértices desse poliedro é de:

A) 6.

B) 7.

C) 8.

D) 9.

E) 10.

(Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices desse cristal é igual a:

A) 35.

B) 34.

C) 33.

D) 32.

E) 31.

Considere os sólidos geométricos a seguir.

Podemos afirmar que:

A) somente I é um poliedro.

B) somente II é um poliedro.

C) ambos são poliedros.

D) nenhum deles é um poliedro.

E) ambos são polígonos.

Marque a alternativa que possui somente poliedros.

A) Hexaedro, prisma de base triangular, cone.

B) Esfera, cilindro e tronco de cone.

C) Cubo, pirâmide de base quadrada e prisma.

D) Cubo, cone e cilindro.

E) Tronco da pirâmide, pirâmide e elipse.

respostas

Alternativa D. Os paralelepípedos nem sempre são sólidos de Platão, pois as suas faces não são todas iguais, exceto quando ele é um hexaedro regular. Assim sendo, não podemos afirmar que todo paralelepípedo é um sólido de Platão.

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Alternativa D.

Sabemos que ele é convexo, logo vale a relação de Euler:

V + F = A + 2

12 + 20 = A + 2

32 = A + 2

A = 32 – 2

A = 30

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Alternativa E. A pirâmide possui todas as faces laterias no formato de triângulos. Além dessas 11 faces triangulares, há somente mais 1 face, a face da base, que é formada por um polígono de 11 lados e 11 vértices, já que há 11 faces triangulares. Além dos 11 vértices da base, esse polígono possui também o chamado vértice da pirâmide. Assim sendo, esse poliedro possui 12 vértices. Pela relação de Euler, temos que:

V + F = A + 2

12 + 12 = A + 2

24 = A + 2

A = 24 – 2

A = 22

Portanto, 12 vértices e 22 arestas.

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Alternativa A.

(I) Falsa, pois ele possui um total de 15 arestas.

(II) Verdadeira.

(III) Verdadeira.

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Alternativa B.

I → Falsa, pois o cilindro é um corpo redondo, e não um poliedro.

II → Verdadeira.

III → Falsa, pois o trapézio é um objeto bidimensional, logo ele é um polígono, e não um poliedro.

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Alternativa E.

É possível perceber que os ângulos são todos de 90º. Além disso, esse sólido possui bases triangulares, característica essa do prisma triangular.

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Alternativa D. Um poliedro é côncavo quando, dados dois pontos pertencentes ao poliedro, o segmento que liga esses dois pontos não pertence ao poliedro, caso contrário ele é convexo. O único poliedro que satisfaz a definição para ser côncavo é o III, então:

I → convexo

II → convexo

III → côncavo

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Alternativa A.

Primeiro vamos contar o número de vértices, arestas e faces na imagem.

A = 12

F = 8

V = 6

Agora, basta realizar a soma:

 A + F + V =  12 + 8 + 6 = 26

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Alternativa C.

Calculando o total de arestas, temos que:

4 faces triangulares → 4 · 3

2 faces quadrangulares → 2 · 4

1 face hexagonal → 6 

Sabemos que o lado dos polígonos corresponde às arestas do poliedro. Além disso, a aresta é o encontro de duas faces, logo, para encontrar o número de arestas, vamos calcular o total de arestas e dividir por dois, pois elas pertencem a duas faces simultaneamente.

A = (4 · 3 + 2 ·  4 + 6 ) : 2

A = (12 + 8 + 6) : 2

A = 26 : 2

A = 13

O total de faces é 4 + 2 + 1 = 7.

Pela relação de Euler, temos que

V + F = A + 2

V + 7 = 13 + 2

V +  7 = 15

V = 15 – 7

V = 8

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Alternativa D.

Se ele possui 60 faces triangulares, sabemos que cada face tem 3 arestas; porém, a aresta é o encontro de duas faces, então, para calcular a quantidade de arestas, vamos multiplicar o número de faces por 3 e dividir por 2.

60 · 3 : 2 = 90 arestas.

 Agora, pela relação de Euler, temos que:

V + F = A + 2

V + 60 = 90 + 2

V = 92 – 60

V = 32

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Alternativa B. Analisando os sólidos geométricos, o I é um cone, que é um corpo redondo e não pode ser classificado como poliedro. Já o sólido geométrico II é um prisma de base pentagonal, que é um poliedro.

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Alternativa C.

O cubo, as pirâmides e os prismas são todos poliedros.

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