JC é uma das diagonais, entendemos diagonal do poliedro como sendo o segmento de reta que une dois vértices não pertencentes à mesma face.
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)
Temos também o ângulo poliédrico, formado entre as arestas, denotado por:
Um ângulo poliédrico é chamado de triédrico quando três arestas têm origem em um vértice. Da mesma forma, é chamado de tetraédrico, caso quatro arestas tenham origem em um vértice, e assim por diante.
Daqui em diante, estabeleceremos algumas notações, são elas:
Saiba mais: Planificação de sólidos geométricos
Propriedades de um poliedro convexo
Propriedade 1
A soma das arestas de todas as faces é igual ao dobro do número de arestas do poliedro.
Exemplo
Um poliedro tem 6 faces quadradas. Vamos determinar a quantidade de arestas.
De acordo com a propriedade, basta multiplicar o número de arestas de uma face pela quantidade de faces, e isso é igual ao dobro do número de arestas. Dessa forma:
Propriedade 2
A soma dos vértices de todas as faces é igual à soma das arestas de todas as faces, que é igual ao dobro do número de arestas.
Exemplo
Um poliedro com 5 ângulos tetraédricos e 4 ângulos hexaédricos. Vamos determinar a quantidade de arestas.
De maneira análoga ao exemplo anterior, a segunda propriedade diz que a soma das arestas de todas as faces é igual ao dobro do número de arestas. O número de arestas é dado pelo produto de 5 por 4 e 4 por 6, pois são 5 ângulos tetraédricos e 4 hexaédricos. Assim:
Poliedros côncavos (não convexos)
Um poliedro é não convexo, ou côncavo, quando tomamos dois pontos em faces distintas e a reta r que contém esses pontos não fica toda contida no poliedro.
Perceba que a reta (em azul) não está por completa no poliedro, assim o poliedro (em rosa) é côncavo ou não convexo.
Poliedros regulares
Dizemos que um poliedro é regular quando suas faces são polígonos regulares iguais entre si e com os ângulos poliédricos todos iguais.
Veja alguns exemplos:
Perceba que todas as suas faces são polígonos regulares. Suas faces são formadas por quadrados e as arestas são todas congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.
Leia também: O que são polígonos regulares e convexos?
Relação de Euler
Também conhecido como teorema de Euler, o resultado foi provado por Leonhard Euler (1707 - 1783) e garante que em todo poliedro convexo fechado é válida a seguinte relação:
Poliedros de Platão
É chamado de poliedro de Platão todo poliedro que satisfaz as condições seguintes:
É valida a relação de Euler
Todas as faces apresentam o mesmo número de arestas
Todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas
É provado que existem somente cinco poliedros regulares e convexos, ou poliedros de Platão, são eles:
Tetraedro regular
O tetraedro possui 4 faces triangulares congruentes e 4 ângulos triédricos congruentes.
Hexaedro regular
O hexaedro possui 6 faces quadrangulares congruentes e 8 ângulos triédricos congruentes.
Octaedro regular
O octaedro possui 8 faces triangulares congruentes e 6 ângulos tetraédricos congruentes.
Dodecaedro regular
O dodecaedro possui 12 faces pentagonais congruentes e 20 ângulos triédricos congruentes.
Icosaedro regular
O icosaedro possui 20 faces triangulares congruentes e 12 ângulos pentaédricos congruentes.
Exercícios resolvidos
1) (Enem) Uma joia foi lapidada na forma de um poliedro convexo de 32 faces, sendo que 20 dessas são hexaedros e as restantes são pentagonais. Essa joia será um presente para uma senhora que está fazendo aniversário, completando uma idade cujo número é a quantidade de vértices desse poliedro. Essa senhora está completando:
a) 90 anos
b) 72 anos
c) 60 anos
d) 56 anos
e) 52 anos
Solução:
Da propriedade 1 de poliedros convexos sabemos que:
Agora, como conhecemos o número de arestas e o número de faces, podemos utilizar a relação de Euler.
Como a idade que a senhora está completando é igual ao número de vértices, então essa é de 60 anos. Alternativa c.
2) (PUC-SP) Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é três quintos do número de faces?