Para cada matriz encontre todos os autovalores e uma base de cada auto espaço

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8.2 Autovalores, autovetores e autoespaços associados

Associados com uma transformação linear T estão os seus autovetores, que, como veremos, são direções especiais para esta transformação T. Por esta razão, são também conhecidos como vetores próprios ou vetores característicos de T. Aparecem em muitas aplicações, pois nos ajudam a entender mais profundamente a transformação linear T.

Dada uma matriz quadrada A de ordem n× n, com entradas reais, nós dizemos que um número λ∈ℝ é um autovalor de A quando existe um vetor não nulo v→ tal que

Neste caso, v→ é dito um autovetor de A associado a λ.

Geometricamente, v → é um vetor que não muda de direção quando aplicamos a matriz A. No entanto, quando permitimos que λ seja um número complexo, esta interpretação geométrica é perdida.

Ver também animação em wikipedia.org

Exemplo 71.Considere a matriz

Temos que λ1=2 é um autovalor desta matriz, porque o vetor

Assim, podemos dizer que v→1 é um autovetor de A associado ao autovalor 2. Colocando de outra maneira, podemos dizer também que

Neste caso, concluimos também que 11 é um autovalor de A.

Observamos que, se v→ for um autovetor de uma matriz A associado a um autovalor λ, então qualquer múltiplo escalar αv→ também é um autovetor de A associado a λ:

Da mesma maneira, se dois vetores v→ e w→ forem autovetores associados a um mesmo autovalor λ, então a soma v→+w→ também é um autovetor associado a λ:

Logo, concluimos que o conjunto de todos os autovetores associados a um autovalor λ, união com o vetor nulo, forma um subespaço vetorial de ℝn, denominado autoespaço associado ao autovalor λ:

Vamos analisar uma forma de encontrar os autovalores de uma matriz A de forma sistemática. Temos as seguintes equivalências: λ é um autovalor de A⇔existe v→≠0→ tal que Av →=λv→⇔existe v→≠0 → tal que (A−λI)v→=0→⇔o sistema homogêneo (A−λI)v→=0→ admite solução não trivial ⇔A−λI não é invertível⇔det (A−λI)=0.

Esta última equação pode ser utilizada para encontrar os autovalores: são as raízes do polinômio característico

A equação det(A−λI)=0 é também chamada de equação característica. Observe, pelas propriedades dos determinantes, que p é de fato um polinômio e tem grau n, que é igual a ordem da matriz A. É assim consequência do Teorema Fundamental da Álgebra que existem no máximo n autovalores reais (já que um polinômio de grau n ≥1 possui exatamente n raízes complexas).

Exemplo 72. Vamos encontrar os autovalores de

Precisamos calcular

que tem raízes

Portanto, A tem dois autovalores reais: λ1=1 e λ2=5.

Exemplo 73. Encontrar os autovalores de

Precisamos calcular p(λ)= det(A−λI)= det 5−λ81641−λ8−4−4−11−λ =(5−λ)⋅1−λ 8−4−11−λ−8⋅48 −4−11−λ+16⋅41−λ −4−4=(5−λ) (1−λ)(−11−λ)+32−8−44−4λ +32+16(−16+4−4λ)=(5−λ )λ2+10λ+21+32λ+12⋅8−64λ−1 2⋅16=−λ3−5λ2+29λ+105−32λ−96 =−λ3−5λ2−3λ+9.

As possíveis raízes racionais desse polinômio só podem ser os divisores do termo independente acima: ±1,±3,±9. Verificamos que 1 é raiz. Logo, dividindo p(λ ) por λ−1:

Portanto, os autovalores de A são λ1=1 e λ2=3. Observamos que 3 é uma raiz de multiplicidade 2 do polinômio característico.

Um grande problema é que, em geral, encontrar raízes de polinômios é difícil. De fato, mesmo quando o grau do polinômio é baixo, encontrar raízes de polinômios pode ser bastante complicado. Já há muito tempo é conhecido1 que polinômios de grau 5 ou mais podem não possuir fórmulas para cálculo de raízes a partir de radicais.

Por outro lado, uma vez que os autovalores são conhecidos, encontrar os autovetores é um cálculo direto: basta resolver o sistema linear homogêneo

Isto é o mesmo que dizer que o autoespaço associado a λ é o espaço nulo Nul(A−λI). Vejamos como encontrar os autoespaços das matrizes dos exemplos anteriores.

Exemplo 74 (de volta ao Exemplo 72).Para encontrar os autovetores de

associados com o autovalor λ1=1, vamos resolver o sistema homogêneo:

Já que o sistema é homogêneo, não é necessário escrever a última coluna de zeros na matriz aumentada associada (no entanto, é necessário lembrar que há uma coluna de zeros). Por escalonamento

Em forma vetorial paramétrica:

Para encontrar os autovetores associados a λ2=5, resolvemos

Em forma vetorial paramétrica:

Exemplo 75 (de volta ao Exemplo 73).Vamos encontrar os autovetores de

• associados com o autovalor λ1=1, vamos resolver o sistema homogêneo:

  5−λ181641−λ18−4−4−11−λ1v1v2v3=000.

  (8.24)

  Por escalonamento,

  4816408 −4−4−12∼1240−8−8044∼124011000 ∼102011000↭v1+2v3=0v2+v3=0v3livre

  (8.25)

  Em forma paramétrica, os autovetores são

  v1v2v3 =−2v3−v3 v3=v3−2−11 ⇒Nul(A−I)= Span−2−11.

  (8.26)

• associados com o autovalor λ2=−3, vamos resolver o sistema homogêneo:

  5−λ281641−λ28−4−4−11−λ2v1v2v3=000.

  (8.27)

  Por escalonamento,

  8816448 −4−4−8∼112 000000↭v1+v2+2v3=02variáveislivres

  (8.28)

  Em forma paramétrica, os autovetores são

  v1v2v3 =−v2−2v3v2 v3=v2−11 0+v3−201⇒Nul(A−I)= Span−110,−201 .

  (8.29)

Observamos que, nos exemplos anteriores, a dimensão do autoespaço associado ficou igual à multiplicidade do autovalor. Isto nem sempre é verdade. Como exercício, verifique que a dimensão do autoespaço associado ao autovalor λ=1 da matriz

é igual a 1, embora a multiplicidade do autovalor seja 2.

De forma geral, chamamos a multiplicidade do autovalor de multiplicidade algébrica, enquanto que a dimensão do autoespaço associado é chamada de multiplicidade geométrica.

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Como descobrir os autovalores de uma matriz?

Quais são os autovalores de uma matriz?

Quantos autovalores tem uma matriz?

O que é multiplicidade geométrica?