<strong>Lista</strong> <strong>de</strong> exercícios: Análise Combinatória – <strong>Problemas</strong> <strong>Gerais</strong> – <strong>Prof</strong> ºFernandinho Questões: 01.Quantos números naturais <strong>de</strong> 4 algarismos e divisíveis por 5 po<strong>de</strong>mos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 02.Quantos números pares <strong>de</strong> 4 algarismos distintos po<strong>de</strong>mos formar com os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, 8 e 9? 03.Quantos números naturais <strong>de</strong> 3 algarismos distintos existem no nosso sistema <strong>de</strong> numeração? 04.Quantos números naturais <strong>de</strong> 4 algarismos distintos têm o algarismo da centena igual a 7? 05.Uma estrada <strong>de</strong> ferro tem 10 estações. Quantos tipos diferentes <strong>de</strong> bilhetes existem em circulação, sabendose que cada bilhete contém impressas apenas a estação <strong>de</strong> partida e a estação <strong>de</strong> chegada? 06.(UNESP) As placas dos veículos motorizados contêm três letras e quatro algarismos. Quantas placas <strong>de</strong>verão existir, cujas três letras sejam todas vogais? 07.Quantos números naturais po<strong>de</strong>-se escrever com os algarismos ímpares, sem repeti-los que estejam compreendidos entre 3000 e 7000? 08.Quantos números naturais, ímpares, <strong>de</strong> 4 algarismos distintos e menores que 3000 po<strong>de</strong>mos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 09.Quantos números naturais <strong>de</strong> 5 algarismos distintos e maiores que 53000 po<strong>de</strong>m ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? 10.(PUC) Chamam-se “palíndromos” os números inteiros que não se alteram quando a or<strong>de</strong>m se seus algarismos é invertida (por exemplo: 383, 4224, 74847). Qual é o número total <strong>de</strong> palíndromos <strong>de</strong> 5 algarismos que existem? 11.(FUVEST) Quantos são os números inteiros positivos <strong>de</strong> 5 algarismos que não tem algarismos adjacentes iguais? 12.(MACK) Atualmente, os veículos possuem placas com 3 letras, escolhidas <strong>de</strong>ntre 26 possíveis, e 4 algarismos, escolhidos <strong>de</strong> 0 a 9. Dessa forma, qual é o número <strong>de</strong> veículos com placas A_ _ - 12_ _ ? 13.(INSPER) O Código Morse usa “palavras” contendo <strong>de</strong> 1 a 4 “letras”. As “letras” são representadas pelo ponto (.) ou pelo traço (-). Desse modo, qual é a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> “palavras” possíveis a partir do Código Morse? 14. Quantos números naturais pares, maiores que 700 e com 3 algarismos distintos, po<strong>de</strong>mos formar? 15. (GV) Uma pessoa vai retirar dinheiro em um caixa eletrônico <strong>de</strong> um banco, mas na hora <strong>de</strong> digitar a senha, se esquece do número. Ela lembra que o número tem 5 algarismos, começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. Qual é o número total <strong>de</strong> senhas que po<strong>de</strong>m ser formadas seguindo esse critério? 16.(MACK) Qual é a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> números inteiros compreendidos entre 300 e 500 que po<strong>de</strong>mos formar, usando apenas os algarismos 3, 4 e 5? Show Temos 5 vogais e 5 consoantes e elas devem ficar alternadas. Para alternar as vogais e consoantes temos duas disposições (onde tem C é consoante e onde tem V é vogal) possíveis: VCVCVCVCVC CVCVCVCVCV Para cada uma delas temos que colocar as vogais no lugar dos V. Como temos 3 A, temos uma permutação de 5 elementos com repetição de 3: P53 =
5!/3! P53 = 5.4.3!/3! P53 = 5.4 P53 = 20 E para as consoantes temos 2 vezes o M e duas vezes o T. Permutação de 5 elementos com repetições de 2 elementos duas vezes: P52, 2 = 5!/2!.2! P52, 2 = 5.4.3.2!/2!.2 P52, 2 = 5.4.3/2 P52, 2 = 5.2.3 P52,
2 = 30 E juntando as duas coisas: = 20 . 30 = 600 Mas temos isso para cada uma das duas disposições, então temos que multiplicar por 2: = 2 . 600 = 1200  Quantos são os anagramas a palavra "CAPÍTULO". a) possíveis? b) que comecem e terminem por vogal? c) que têm as vogais e as consoantes intercaladas? d) que têm as letras c, a, p juntas nessa ordem? e) que têm as letras c, a, p juntas em qualquer ordem? f) que têm a palavra p em primeiro lugar e a letra a em segundo? g) que têm a letra p em primeiro lugar ou a letra a em segundo? h) que têm a letra p em primeiro lugar ou a em segundo ou c em terceiro? i) nos quais a letra a é uma das letras à esquerda de p e a letra c é uma das letras à direita de p?
Quantos são os anagramas a palavra "CAPÍTULO". a) possíveis? Não tem letras repetidas. Fatorial de 8! 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320. _______________________________________________________________________________ b) que comecem e terminem por vogal? _ _ _ _ _ _ _ _ a.b.c.d.e. f.g. h Vamos começar pelas restrições: a= 4 : só pode ser vogal: temos 4 opções. h = 3 : só pode terminar com vogal. Se escolhemos 1 vogal e a, sobraram 3. b = 6 (deveriam ser 8, mas escolhemos a e h) c = 5 d = 4 e = 3 f = 2 g = 1 Temos, então: 4.6.5.4.3.2.1.3 ou 3.4.6! = 8.640 anagramas começando e terminando por vogais. _______________________________________________________________________________ c) que têm as vogais e as consoantes intercaladas? _ _ _ _ _ _ _ _ a.b.c.d.e.f. g. h a = 4 : seja o início com vogais. b = 4 : se o início foi com vogais, temos agora 4 consoantes. c = 3 : Aqui será vogal. Eram 4, mas colocamos 1 em a, ficando 3. d = 3 e = 2 f = 2 g = 1 h = 1 Temos: 4.4.3.3.2.2.1.1 = 576 anagramas começando com vogais. Mas, teremos mais 576 anagramas começando com consoantes. Assim, temos como total de anagramas 576 + 576 = 1.152 anagramas. _______________________________________________________________________________ d) que têm as letras c, a, p juntas nessa ordem? _ _ _ _ _ _ _ _ Letras juntas, juntamos as lacunas e as letras. CAP - I - T U - L - O ______ _ _ _ _ _ a b c d e f a: Temos 6 opções, já que juntamos as letras. b: aqui ficaram 5, já que colocamos 1 opção em a. c: 4 d: 3 e: 2 f: 1 Fica: 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas. _______________________________________________________________________________ e) que têm as letras c, a, p juntas em qualquer ordem? No caso acima, achamos 720 anagramas na ordem cap. Agora, não importa a ordem. Logo, temos 720 para cap, 720 para cpa, 720 para acp, 720 para apc, 720 para pac e 720 para pca, ou seja, temos 720 x 6 = 4.320 anagramas. Ou, O normal é 6! = 720 _______________________________________________________________________________ f) que têm a palavra p em primeiro lugar e a letra a em segundo? p a _ _ _ _ _ _ a.b.c.d.e.f a = 6 opções, já que 2 delas já foram usadas. b = 5 c = 4 d = 3 e = 2 f = 1 Fica: 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas. _______________________________________________________________________________ g) que têm a letra p em primeiro lugar ou a letra a em segundo? Neste caso, apareceu a palavrinha OU, ao invés de E. Vamos fazer com a letra p em primeiro lugar: p _ _ _ _ _ _ _ 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040. Em seguida, vamos fazer com a letra a em segundo: _ a _ _ _ _ _ _ 7.1.6.5.4.3.2.1 = 5040. Somando os dois, temos 5040 + 5040 = 10.080. Perceba que quando começou com p, tivemos 5040 anagramas, incluindo p a _ _ _ _ _ _, que começa com p. Quando fizemos com a em segundo, tivemos, também, p a _ _ _ _ _ _, que tem a em segundo. Assim, contamos duas vezes a opção p a _ _ _ _ _ _. Logo, desses 10.080 anagramas, temos que uma das opções p a _ _ _ _ _ _, que foi cotado duas vezes. Mas, quantas são essas opções? p a _ _ _ _ _ _ 6.5.4.3.2.1 = 720. Assim, 10.080 - 720 = 9.360 anagramas. _______________________________________________________________________________ h) que têm a letra p em primeiro lugar ou a em segundo ou c em terceiro? Aqui teremos 3 contas: p em primeiro lugar: p _ _ _ _ _ _ _ 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040 a em segundo lugar: _ a _ _ _ _ _ _ 7.1.6.5.4.3.2.1 = 5.040 c em terceiro lugar: _ _ c _ _ _ _ _ 7.6.1.5.4.3.2.1 = 5.040 Somando as três, temos 5.040 + 5.040 + 5.040 = 15.120. Da mesma forma que o exercício anterior, tem anagramas dentre esses 15.120 que foram contados mais de uma vez: p a _ _ _ _ _ _ 6.5.4.3.2.1 = 720 p _ c _ _ _ _ _ 6.1.5.4.3.2.1 = 720 _ a c _ _ _ _ _ 6.1.1.5.4.3.2.1 = 720 Só aqui temos 720 x 3 = 2.160 anagramas repetidos. 15.120 - 2.160 = 12.960 anagramas. Observe que, ao tirar p a _ _ _ _ _ _, acabamos tirando o p a c _ _ _ _ _ , por isso, tendo que devolver. Mas, quanto é p a c _ _ _ _ _ ? p a c _ _ _ _ _ 5.4.3.2.1 = 120 Tínhamos 12.960 anagramas, devolvendo 120, ficamos com 13.080 anagramas! ______________________________________________________________________________ i) nos quais a letra a é uma das letras à esquerda de p e a letra c é uma das letras à direita de p? C - A - P - I - T - U L - O _ _ _ _ _ _ _ _ a.b.c.d.e.f.g. h Quero A P C Considerando P: em a: não pode, pois deve ter A à sua esquerda. em b: neste caso, temos: A P _ _ _ _ _ _ 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas em c: fica assim: A _ P _ _ _ _ _ ou _ A P _ _ _ _ _ 1.5.1.5.4.3.2.1 5.1.1.5.4.3.2.1 = 1200 anagramas. Observe que C não pode estar à esquerda de P. em d: fica: A _ _ P _ _ _ _ ou _ A _ P _ _ _ _ ou _ _ A P _ _ _ _ 5.4.1.4.3.2.1 5.1.4.1.4.3.2.1 5.4.1.1.4.3.2.1 = 1440 anagramas em e: fica A _ _ _ P _ _ _ ou _ A _ _ P _ _ _ ou _ _ A _ P _ _ _ ou _ _ _ A P _ _ _ 5.4.3.1.3.2.1. 5.1.4.3.1.3.2.1 5.4.1.3.1.3.2. 1 5.4.3.1.1.3.2.1 = 1440 anagramas em f: A _ _ _ _ P _ _ ou _ A _ _ _ P _ _ ou _ _ A _ _ P _ _ ou _ _ _ A _ P _ _ ou _ _ _ _ A P _ _ 5.4.3.2.1.2.1 5.1. 4.3.2.1.2.1 5.4.1.3.2.1.2.1 5.4.3.1.2. 1.2.1 5.4.3.2.1.1. 2.1 totalizando 1200 anagramas em g: A _ _ _ _ _ P _ ou _ A _ _ _ _ P _ ou _ _ A _ _ _ P _ ou _ _ _ A _ _ P _ ou _ _ _ _ A _ P _ 5.4.3.2.1.1.1 5.1.4.3.2.1.1.1 5.4.1.3.2.1.1.1 5.4.3.1.2.1.1.1 5.4.3.2.1.1.1.1 ou _ _ _ _ _ A P _ 5.4.3.2.1.1.1.1 = 720 anagramas. em h: P não pode ficar em h, pois o C não poderia estar à sua direita. Observe que, juntando todas as opções, temos: a: zero b: 720 c: 1200 d: 1440 e: 1440 f: 1200 g: 720 h: zero Somando, fica: 720 + 1200 + 1440 + 1440 + 1200 + 720 = 6.720 anagramas. Quantos anagramas possuem as vogais e as consoantes alternadas?As vogais e as consoantes estão alternadas em 36 anagramas. Parabéns! Você acertou!
Quantos anagramas da palavra Editora começam com a vogal a?Resposta verificada por especialistas
O mesmo número de anagramas começará com cada letra, portanto 5040÷7=720 anagramas começam com A.
Quantos anagramas da palavra Editora começam com consoantes?Quantos anagramas da palavra EDITORA, começam por consoantes? * 2880 2160.
Quantos são os anagramas dessa palavra que começa com vogal e termina com consoante?O número de anagramas que começam por vogal e terminam por consoante é igual a 36.
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Considere a palavra editora quantos anagramas possuem vogais e consoantes alternadas
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