Como construir uma função do segundo grau?

Q: Como montar uma função de 2 grau?

Uma função é classificada como de segundo grau quando ela pode ser expressa na forma de y = ax² + bx + c. Em outras palavras, ela precisa ter ao menos uma incógnita (majoritariamente representada pela letra x”) elevada ao quadrado, sendo assim, o coeficiente a” obrigatoriamente precisa ser diferente de zero.

Q: Como se faz uma função?

A formação de uma função do 1º grau é expressa da seguinte forma: y = ax + b, onde a e b são números reais e a é diferente de 0.

Q: Como descobrir a função do segundo grau a partir do gráfico?

O gráfico da função de 2º grau é formado pela parábola, que pode ter concavidade para baixo ou para cima. Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Q: Como fazer funções de 1 é 2 grau?

Para x = 1 teremos: y = 3x – 2 → y = 3 (1) – 2 → y = 3 – 2 → y = 1 par ordenado (1,1).

O gráfico de uma função do 2° grau é uma parábola. Aprenda a encontrar os pontos notáveis da parábola para construir o gráfico.

Publicado em 29/05/2020 - 16:30

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O gráfico de uma função do 2° grau é uma parábola. Aprenda a encontrar os pontos notáveis da parábola para construir o gráfico.
Gráfico de uma função do 2° grau
Gráfico de uma função quadrática
Como montar uma função de 2 grau?
Como se faz uma função?
Como descobrir a função do segundo grau a partir do gráfico?
Como fazer funções de 1 é 2 grau?

O gráfico de uma função y = f(x) corresponde a representação, no plano cartesiano, dos pares ordenados (x,y) que pertencem à função. Para uma função do 2° grau, o gráfico corresponde a uma parábola.

Podemos construir o gráfico da função do 2° grau, atribuindo uma porção de valores para x, substituindo na função e calculando o valor de y correspondente. Em seguida, marcamos cada um dos pares ordenados (x,y) que calculamos e traçamos a parábola.

No entanto, se soubermos apenas a concavidade e alguns pontos-chaves da parábola, já podemos traçar o gráfico da função do 2° grau.

Esses pontos-chaves da parábola também são chamados de pontos notáveis, eles são: o vértice e os pontos de intersecção com os eixos x e y.

Gráfico de uma função do 2° grau

Para explicar como fazer o gráfico de uma função do 2° grau, vamos mostrar alguns exemplos.

Exemplo 1) Construir o gráfico da seguinte função do 2° grau:

f(x) = x² – 4x + 5

Coeficientes da função:

Temos a = 1, b = -4 e c = 5.

Concavidade da parábola:

Como o coeficiente a é um número positivo, então a concavidade é para cima.

Intercepto com o eixo x:

Como , não existem raízes reais para essa função. Assim, a parábola não intercepta o eixo x.

Intercepto com o eixo y:

f(0) = 0² – 4.0 + 5 = 5

Logo, o ponto de intercepto da parábola com o eixo y é o ponto (0,5).

Vértice da parábola:

As coordenadas do vértice da parábola podem ser calculadas da seguinte forma:

Assim, o vértice da parábola é o ponto V(2,1).

Para fazer o gráfico, marcamos os pontos (0,5) e (2,1) e traçamos uma parábola côncava para cima com vértice no ponto (2,1) e passando pelo ponto (0,5).

Exemplo 2) Construir o gráfico da seguinte função do 2° grau:

f(x)= -2x² + 3x + 2

Coeficientes da função:

Temos a = -2, b = 3 e c = 2.

Concavidade da parábola:

Como o coeficiente a é um número negativo, então a concavidade é para baixo.

Intercepto com o eixo x:

Como , existem duas raízes reais diferentes para essa função. Assim, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.

Para encontrar esses pontos, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara.

De onde obtemos: e .

Assim, a parábola intercepta o eixo x nos pontos (-0,5, 0) e (2,0).

Intercepto com o eixo y:

f(0) = -20² + 3.0 + 2 = 2

Logo, o ponto de intercepto da parábola com o eixo y é o ponto (0,2).

Vértice da parábola:

Assim, o vértice da parábola é o ponto V(0,75; 3,13).

Para fazer o gráfico, marcamos os pontos (-0,5; 0), (2,0), (0,2) e (0,75; 3,13) e traçamos uma parábola côncava para baixo com vértice no ponto (0,75; 3,13) e passando pelos pontos (-0,5; 0), (2,0) e (0,2).

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Funções de segundo grau ou funções quadráticas são ferramentas muito importantes para a matemática e é um conceito bem simples de entender quando estamos habituados a resolver equações do segundo grau. Uma função quadrática é toda função da forma

, sendo 𝑎 ≠ 0.

O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola e o sinal de 𝑎 irá determinar o sentido da sua concavidade, veja abaixo exemplos de duas funções quadráticas simples e a diferença entre os seus gráficos:

𝑎 > 0 – Concavidade para cima

𝑎 < 0 – Concavidade para baixo

Gráfico de uma função quadrática

Construir o gráfico de funções do segundo grau é uma tarefa que depende dos valores não só da constante 𝑎, mas também de suas raízes, dos valores das outras constantes 𝑏 e 𝑐, e também do delta da equação. Vamos por partes:

1) O vértice da parábola:

O vértice é o ponto máximo ou o ponto mínimo que a parábola assume. Seja o ponto (𝑥𝑣, 𝑦𝑣) como aquele que representa o vértice da parábola. Para obtermos essas coordenadas, basta calcular a seguinte relação:

Dada a função

, o vértice (𝑥𝑣, 𝑦𝑣) é dado por:

Obs.: Se 𝑎 > 0, dizemos que (𝑥𝑣, 𝑦𝑣) é o ponto mínimo da função. Já, se 𝑎 < 0 então (𝑥𝑣, 𝑦𝑣) é o ponto máximo.

2) Pontos onde a parábola toca o eixo 𝒙:

Se a parábola intercepta o eixo x, dizemos então que esses dois pontos são as raízes da equação quadrática. Então, dada a expressão da função, é interessante resolvê-la como uma equação do segundo grau comum, igualando-a a zero. Utilizando a equação de Bháskara é possível obter as raízes da função do segundo grau, ou seja:

Onde,

Em outras palavras, podemos dizer que os pontos em que a parábola toca o eixo 𝑥,são descritos por dois pontos 𝑥1 e 𝑥2 no eixo cartesiano, de modo que:

Obs.: Vale recordar que, se a parábola não tiver raízes contidas no corpo dos reais,ainda é possível construir o seu gráfico, mas ela não irá tocar o eixo 𝑥 nesses pontos.

3) O ponto onde a parábola toca o eixo 𝒚:

Se a parábola intercepta o eixo 𝑦 então este ponto é simplesmente o valor de 𝑐 na expressão. Vamos agora apresentar todos esses conceitos sobre a construção do gráfico de uma equação do segundo grau.

Exemplo 1) Vamos esboçar o gráfico da função dada por:

1º) A parábola terá a sua concavidade para cima, pois nesse caso 𝑎 = 1;

2º) A parábola irá tocar no eixo 𝑦 no ponto (0, 6);

3º) Calculando as raízes dessa equação pela fórmula de Bháskara, obtemos:

𝑥1 (−3 , 0)

𝑥2 (−2 , 0)

4º) Por fim, o seu vértice (ou o seu ponto de mínimo) será dado, com os seus valores já calculados, por:

Tendo todos esses dados em mãos, podemos então esboçar o gráfico da função:

Note que no gráfico todos os elementos foram incorporados no seu esboço. Se você seguir todos os passos acima, é possível construir qualquer gráfico de uma função do segundo grau.

Referências Bibliográficas:

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/funcoes-de-segundo-grau/

Como montar uma função de 2 grau?

Uma função é classificada como de segundo grau quando ela pode ser expressa na forma de y = ax² + bx + c. Em outras palavras, ela precisa ter ao menos uma incógnita (majoritariamente representada pela letra “x”) elevada ao quadrado, sendo assim, o coeficiente “a” obrigatoriamente precisa ser diferente de zero.

Como se faz uma função?

A formação de uma função do 1º grau é expressa da seguinte forma: y = ax + b, onde a e b são números reais e a é diferente de 0.

Como descobrir a função do segundo grau a partir do gráfico?

O gráfico da função de 2º grau é formado pela parábola, que pode ter concavidade para baixo ou para cima. Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.