Qual número inteiro que não é positivo é nem negativo?

O que é o conjunto dos números inteiros?

Como você deve ter percebido a subtração nem sempre é possível dentro do conjunto dos números naturais \(\mathbb{N}\), observe que, não existe um número natural que represente 3 – 5; mas existe um que represente 5 – 3 que é o 2. Para efetuar as operações que não são possíveis dentro do conjunto dos números naturais, foi criado o conjunto dos números inteiros, onde 3 – 5 possui solução -2. Chamamos de conjunto dos números inteiros o seguinte conjunto:

\( \mathbb{Z} = \left\{…, \; -2, \; -1, \; 0, \; 1, \; 2, \; …\right\} \)

Observe que o conjunto dos números naturais esta contido no conjunto dos números inteiros.

Curiosidade: A letra \(\mathbb{Z}\) é inicial da palavra Zahl, que significa ‘número’ em alemão.

Observe também que quando estão dispostos na reta numérica existe uma simetria em relação ao zero. O oposto ou simétrico de 2 é o -2, assim como o -2 é o oposto ou simétrico de 2.

A soma de dois números inteiros não negativos é um número inteiro não negativo. Por exemplo:

3 + 8 = 11

A soma de dois números inteiros não positivos é um número inteiro não positivo. Por exemplo:

–4 + (– 7) = –11

A soma de um número inteiro não negativo com um número inteiro não positivo pode resultar em um inteiro não negativo, em um não positivo ou, ainda, em zero.

Exemplos:

não negativo + não positivo = inteiro não negativo

7 + (–2) = 5

não negativo + não positivo = inteiro não positivo

25 + (–37) = –12

não negativo + não positivo = zero

5 + (–5) = 0

Quais são os subconjuntos notáveis dos inteiros?

Dentro do conjunto dos números inteiros alguns subconjuntos se destacam por serem mais utilizados. Esses subconjuntos são chamados de subconjuntos notáveis.

Conjunto dos números inteiros não negativos:

\( \mathbb{Z_{+}}=\left\{ 0, \; 1, \; 2, \; 3, \;… \right\} \)

Conjunto dos números inteiros não positivos:

\( \mathbb{Z_{-}}=\left\{ 0, \; -1, \; -2, \; -3, \;… \right\} \)

Conjunto dos números inteiros não nulos:

\( \mathbb{Z^{*}}=\left\{…, \; -3, \; 0, \; -1, \; -2, \; -3, \;… \right\} \)

Quais são as propriedades dos números inteiros?

Todas as propriedades vistas no conjunto dos números naturais são válidas para os números inteiros. Com destaque para a propriedade da existência do inverso aditivo.

Dados \(a, b\: e \: c  \in  \mathbb{Z} \), temos:

Propriedades da adição de dois inteiros

I) Propriedade associativa

\(\left ( a + b\right ) + c = a + \left ( b + c\right ) \)

II) Propriedade comutativa

\(a + b = b + a\)

III) Propriedade da existência elemento neutro

\(a + 0 = a,  \: \forall  \: a  \in \mathbb{Z}\)

IV) Propriedade da existência do inverso aditivo

Para todo \(a \in \mathbb{Z}\) existe \(-a \in \mathbb{Z}\) tal que:

\( \left (-a \right ) + a = 0 \)

Devido a essa propriedade, fica definido a operação de subtração, nos inteiros. Estabelecendo que \(a – b = a + \left(-b\right) \) para todo \(a, \; b \in \mathbb{Z}\).

E essas foram as propriedades da adição, vamos dar uma olhada na propriedade da multiplicação.

Propriedade da multiplicação de dois inteiros

I) Propriedade associativa

\( \left ( a \cdot b \right ) \cdot c = a \cdot \left(b \cdot c \right )  \)

II) Propriedade comutativa

\(a \cdot  b = b \cdot a\)

III) Propriedade da existência elemento neutro

\(a \cdot 1 = a,  \: \forall  \: a  \in \mathbb{Z}\)

IV) Propriedade distributiva em relação a soma

\( c \cdot\left(a + b \right ) = c \cdot a + c \cdot b \)

V) Propriedade da multiplicação por zero

\(a \cdot b = 0 \Rightarrow a = 0 \: ou \: b = 0 \)

E essas são as propriedades dos números inteiros para as operações de adição e multiplicação.

Operações fechadas no conjunto dos números inteiros

Com os números inteiros é sempre possível efetuar operações de adição, multiplicação e subtração, ou seja, para qualquer uma dessas operações o resultado será um número inteiro e todas as propriedades válidas no conjunto dos números naturais continuam válidas com os número inteiros.

Já a divisão entre dois números inteiros nem sempre retorna um inteiro observe:

• -8 : 4 = -2, é possível em \(\mathbb{Z}\);
• 3: 2 = ?, essa operação já não é possível em \(\mathbb{Z}\).

Para refletir: Existe número natural que não é inteiro? Existe número inteiro que não é natural?

Para efetuar operações que não são possíveis nos inteiros foi preciso ampliar o conjunto \(\mathbb{Z}\). E foi assim que chegamos ao conjunto dos números racionais.

Referencias:

Iezzi, Gelson Fundamentos de matemática elementar, 1: conjuntos, funções / Gelson Iezzi, Carlos Murakami. — 9. ed. — São Paulo : Atual, 2013.

Cabral, Luiz Cláudio Matemática básica explicada passo a passo [recurso eletrônico] / Luiz Cláudio Durão Cabral, Mauro César de Abreu Nunes. – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013.