Porcentagens
Os números fracionários (ou decimais) têm uma ligação direta com o cálculo da porcentagem.
A porcentagem nada mais é do que uma multiplicação por uma fração de denominador cem, como veremos nos exemplos a seguir.
Antes, devemos portanto recordar essa transformação:
SITUAÇÃO 1:
O salário de uma pessoa é de R$ 800,00 qual a quantia que ele receberá se o salário aumentar 15%?
Solução:
de
Logo, o salário após o aumento será de (800 + 120) R$ 920,00.
SITUAÇÃO 2:
Em um grupo de 75 pessoas, verificou-se que 8% usavam óculos. Quantas pessoas desse grupo não usavam óculos?
Solução:
de
Logo, 69 pessoas não usavam óculos.
Noções de matemática financeira
Terminologia básica
Quando você deposita uma quantia monetária (Capital: C) em uma caderneta de poupança, você está fornecendo um crédito à empresa. A compensação recebida por esse crédito é o juro (J).
a. Taxa de juros (i) – é o valor do juro numa unidade de tempo (mês, trimestre, semestre, ano, etc), expresso como uma porcentagem do capital (i = 5% ao mês: significa que a cada mês, você recebe 5 de juro para cada 100 de capital aplicado).
b. Taxas de juros proporcionais – duas taxas i1 e i2, relativas respectivamente aos períodos de tempos n1 e n2, são proporcionais se, supondo n1 e n2 expressos na mesma unidade, se tem: .
Assim, por exemplo, a taxa semestral de 12% é proporcional à taxa mensal de 2%, pois: .
c. Taxas de juros equivalentes – duas taxas i1 e i2 são equivalentes se, a despeito de estarem referidas a períodos de tempos diferentes, produzem montantes iguais, quando aplicadas ao mesmo capital e pelo mesmo prazo.
d. Montante (M) – É a soma do capital com os juros auferidos: M = C + J
Regime de capitalização simples
No regime simples, os juros gerados em cada unidade de tempo são sempre constantes e iguais ao produto do capital pela taxa de juros: J = C.i
Como J = C.i, em cada unidade de tempo; após um período de n unidades de tempo, o total dos juros auferidos será dado por: J = C.i.n
A expressão do montante será:
No regime de capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Com efeito, por exemplo, o montante M1, gerado por R$100,00, quando aplicado à taxa de 12% ao semestre pelo prazo de 1 ano é igual ao montante M2, gerado pelo mesmo capital, quando aplicado à taxa de 2% ao mês pelo mesmo prazo.
De fato, .
Exemplos:
a. O capital de R$530,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual será o valor do montante, após 5 meses?
Solução:
Capital (C): 530,00
Taxa (i): 3% ao mês
Período (n): 5 meses
O montante após 5 meses será de R$ 609,50.
b. Um capital de R$ 600,00 aplicado à taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1.080,00 após um certo tempo. Qual foi esse tempo?
Solução:
Capital (C): 600,00
Taxa (i): 20% ao ano
Montante (M): 1080,00
anos.
O tempo necessário será de 4 anos.
c. Que capital, aplicado em regime simples de capitalização, à taxa de 1,5% ao mês, renderá juros de R$ 90,00 em um trimestre?
Solução:
Taxa (i): 1,5% ano mês
Tempo (n): 1 trimestre (3 meses)
Juros (J): 90,00
O capital aplicado deverá ser de R$ 2000,00.
d. A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4.500,00, no regime de capitalização simples, para que após 4 meses, o montante seja de R$ 5.040,00?
Solução:
Capital (C): 4500,00
Tempo (n): 4 meses
Montante (M): 5040,00
ao mês
A taxa deverá ser de 3% ao mês.
e. Quanto renderá de juros a quantia de R$ 600,00, aplicada no regime de capitalização simples, com taxa de 2,5% ao mês, ao final de 1 ano e 3 meses?
Solução:
Capital (C): 600,00
Taxa (i): 2,5% ao mês
Tempo (n): 1 ano e 3 meses (15 meses)
O capital renderá R$ 225,00.
O juro simples é calculado tendo como base o valor inicial, conhecido como capital, a taxa de juro e o tempo. A fórmula do juro simples é J = C ∙ i ∙ t, em que J é o juro, C é o capital, i é a taxa de juro e t é o tempo.
Para calcular o juro simples, basta substituir os valores na fórmula e realizar o cálculo. Além do juro simples, existe também o juro composto, que possui um acréscimo maior ao decorrer do tempo.
Leia também: Matemática financeira — o que essa área estuda?
Tópicos deste artigo
O que é juro simples?
O juro simples é um tipo de juro corriqueiro no nosso cotidiano. Quando atrasamos o pagamento de uma conta, por exemplo, é bastante comum a cobrança de juro e multa, e essa cobrança é feita em cima do valor da dívida, ou seja, quanto maior o seu valor, maior será o juro. Sendo assim, o juro é um valor acrescentado a um capital ao longo do tempo.
Existem dois tipos de juro: o juro simples, em que o valor acrescentado ao decorrer do tempo é fixo, e o juro composto, em que há incidência de juro sobre juro, e consequentemente o valor acrescentado ao decorrer do tempo não é fixo.
Veja um exemplo prático:
Uma loja vende um produto a R$ 400,00 à vista. Caso o cliente desejar, esse mesmo produto pode ser comprado no cartão de crédito com juro simples de até 5% ao mês, podendo parcelar em até 4 vezes.
Assim, se o produto à vista custa R$ 400,00, sabemos que 5% desse valor, ou seja, 5% de 400, é igual a R$ 20,00. Então, para cada mês a mais, o cliente pagará R$ 20,00.
Se o cliente comprar no cartão de crédito em uma vez, ele pagará R$ 420,00.
400 + 20 = 420,00
Se o cliente optar por pagar em 2 vezes, ele pagará R$ 440,00.
400 + 20 + 20 = 440
Se o cliente optar por pagar em 3 vezes, ele pagará R$ 460,00.
400 + 20 + 20 + 20 = 460
Se o cliente optar por pagar em 4 vezes, ele pagará R$ 480,00.
400 + 20 + 20 + 20 + 20 = 480
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Qual a fórmula do juro simples?
A fórmula do juro simples é:
J = C ∙ i ∙ t
J → juro
C → capital
i → taxa de juro
t → tempo
Observações importantes:
É importante que a taxa de juro e o tempo estejam sempre na mesma unidade de tempo. Por exemplo, se o tempo for medido ao mês, a taxa de juro também deve ser ao mês. Se o tempo for medido em anos, a taxa de juro deve ser ao ano. Se necessário, podemos transformar anos em meses, meses em dias e assim por diante.
O montante é outro conceito muito importante no estudo do juro simples. Conhecemos como montante o valor do capital somado ao juro, geralmente representado por M. A fórmula para calcular o montante é:
M = C + J
Como calcular o juro simples?
Para realizar o cálculo do juro simples, basta realizar a substituição dos valores conhecidos na fórmula.
Exemplo 1: Um capital de R$ 600,00 foi investido em tesouro direto, com uma taxa de 12% a.a. para ser retirado após 5 anos. Qual será o juro ao final desse tempo?
Dados:
C = 600
i = 12% a.a.
t = 5 anos
Para calcular o juro, escreveremos a taxa de 12% como um número decimal, pois sabemos que 12% são equivalentes a 0,12.
J = C ∙ i ∙ t
J = 600 ∙ 0,12 ∙ 5
J = 72 ∙ 5
J = 360
O juro recebido após 5 anos será de R$ 360,00.
Caso queiramos calcular o montante, basta somar o juro com o capital:
M = 600 + 360 = 860
O montante será de R$ 860,00.
Observação: Vale ressaltar que os problemas envolvendo juro simples nem sempre pedem para calcular apenas o juro. Eles podem pedir o tempo, a taxa de juro ou até mesmo o capital.
Exemplo 2:Durante quanto tempo um capital de R$ 15.000,00 deve ficar em um investimento a juro simples com taxa de 12,5 % a.a. para que ele dobre o seu valor?
Resolução:
C = 15.0000
i = 12,5% a.a.
Para que o capital dobre de valor, é necessário que o montante seja de R$ 30.000,00. Para isso, o juro deve ser de 15.0000:
J = 15.000
J = C ∙ i ∙ t
15.000 = 15.000 ∙ 0,125 ∙ t
15.000 = 1.875 t
\(\frac{15.000}{1.875}=t\)
t = 8
O período necessário é de 8 anos.
Videoaula sobre o cálculo do juro simples
Juro simples x juro composto
O juro simples e o juro composto são ambos praticados no mercado. Eles se diferem pelo fato de que no juro simples, o valor a ser acrescentado ao capital a cada período é sempre o mesmo, entretanto, no juro composto, a cada período que passa, o valor acrescentado ao capital é maior. A fórmula do juro composto é:
\(M=C\left(1+i\right)^t\)
A diferença é que no juro composto há a incidência de juro sobre juro, sendo o capital e a taxa os mesmos. No primeiro período, o valor do juro será o mesmo, entretanto, a partir do segundo, o juro composto gera um montante maior.
Exemplo:
Um capital de R$ 2000, investido com uma taxa de 10% a.m.:
Mês | Montante com juro simples | Montante com juro composto |
0 | R$ 2000,00 | R$ 2000,00 |
1 | R$ 2200,00 | R$ 2200,00 |
2 | R$ 2400,00 | R$ 2420,00 |
3 | R$ 2600,00 | R$ 2662,00 |
4 | R$ 2800,00 | R$ 2928,20 |
5 | R$ 3000,00 | R$ 3221,02 |
6 | R$ 3200,00 | R$ 3543,12 |
Leia também: Aumento e desconto percentual
Exercícios resolvidos sobre juro simples
Questão 1
Uma dívida de R$ R$ 1000,00 foi paga com atraso de 1 ano e meio. No acerto, foi cobrada uma multa de R$ 5,00, mais juro de 1% em cima do valor inicial da dívida a cada mês de atraso. Nessas condições, o valor pago por essa dívida foi de:
A) R$ 1800,00
B) R$ 1850,00
C) R$ 1185,00
D) R$ 1180,00
Alternativa C
Nesse caso, calcularemos o juro e depois somaremos a multa.
Dados:
C = 1000
i = 1% a.m.
Note que a taxa é ao mês. Sabemos que 1 ano possui 12 meses, logo 1 ano e meio possuem 18 meses.
t = 18
Calculando o juro:
J = C ∙ i ∙ t
J = 1000 ∙ 0,01 ∙ 18
J = 10 ∙ 18
J = 180
Somando o valor da dívida com o juro e com a multa:
V = 1000 + 180 + 5 = 1185
O valor pago pela conta foi de R$ 1185,00.
Questão 2
(CETRDE 2021) Um funcionário aplicou seu dinheiro em um fundo de investimento que trabalha com juro simples. Qual é a taxa de juro, ao mês, se ele investiu em abril R$ 500,00 e resgatou R$ 550,00 em agosto?
A) 1%
B) 0,025%
C) 25%
D) 2,5%
E) 0,25%
Resolução:
Alternativa D
Se o resgate foi de R$ 550,00 e o capital era de R$ 500,00, o juro é de 550 – 500 = 50.
De abril até agosto há 4 meses, portanto:
J = 50
t = 4
C = 500
Calculando a taxa de juro:
J = C ∙ i ∙ t
50 = 500 ∙ i ∙ 4
50 = 2000 ∙ i
\(\frac{50}{2000}=i\)
0,025 = i
Dessa forma, a taxa é de 2,5%.
Por Raul
Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática