Podemos construir um prisma que tenha 14 vértices por quê

1. Prismas regulares

Prisma: Figura espacial que possui duas faces poligonais opostas, paralelas e congruentes, denominadas bases, separadas por uma distância chamada altura. As demais faces possuem forma de paralelogramos, sendo os lados os segmentos que unem os vértices correspondentes das duas bases. O prisma é regular quando suas bases forem polígonos regulares.

1.1 Prisma reto: O prisma é dito reto quando as arestas laterais forem perpendiculares às bases. Neste caso as faces laterais serão retângulos.

Definições complementares

Al → total da área lateral, que é a soma das áreas dos paralelogramos
Ab → área do polígono da base (vide fórmulas no artigo

)
h → altura do prisma (distância entre as duas bases e perpendicular a elas)

Área total:
AT = Al + 2. Ab

Volume do prisma:
V = Ab . h

1.2 Prisma oblíquo: quando as arestas laterais não são perpendiculares às bases.

As fórmulas para cálculo das áreas e do volume continuam as mesmas, pois a altura é sempre a distância entre as duas bases e perpendicular a elas ou ao plano que as contém.

2. Pirâmides regulares

Pirâmide: Uma figura espacial que possui uma face poligonal denominada base, e faces laterais em forma de triângulos com um vértice em comum. A distância deste vértice até a base da pirâmide é sua altura. A pirâmide é regular quando sua base for um polígono regular.

2.1 Pirâmide reta: A pirâmide é reta quando todos as faces laterais forem todas triângulos iguais. Neste caso a projeção do vértice da pirâmide sobre a base coincide com o centro geométrico da base.

Definições complementares

Al → total da área lateral que é a soma das áreas dos triângulos laterais
Ab → área do polígono da base (vide fórmulas no artigo

)
h → altura da pirâmide (distância entre a base, perpendicular a ela, e o vértice)

Área total:
AT = Al + Ab

Volume da pirâmide:

2.2 Pirâmide oblíqua: É aquela em que os triângulos que formam as faces laterais são diferentes ente si. Neste caso, a projeção do vértice da pirâmide sobre a base não coincide com o centro geométrico da mesma.

As fórmulas para cálculo das áreas e do volume continuam as mesmas, pois a altura é sempre a distância entre o vértice e a base, perpendicular a ela ou ao plano que a contém.

3. Pirâmides e prismas especiais

Um prisma especial, por exemplo, é o cubo: trata-se de um prisma de bases quadradas e iguais às faces laterais, ou seja, a figura possui seis faces iguais formadas por quadrados.

Uma pirâmide especial, por exemplo, é o tetraedro: trata-se de uma pirâmide com base triangular regular e igual às faces laterais, ou seja, possui quatro faces iguais formadas por triângulos equiláteros.

Prismas são figuras tridimensionais formadas por duas bases congruentes e paralelas, as bases, por sua vez, são formadas por polígonos convexos. As outras faces que recebem o nome de faces laterais são formadas por paralelogramos. Para determinar a área de um prisma, é necessário antes realizar sua planificação e, em seguida, calcular a área da figura planificada.

Leia também: Diferenças entre figuras planas e espaciais

Tópicos deste artigo

• 1 - Planificação de um prisma
• 2 - Cálculo da área lateral
  • Exemplo
• 3 - Cálculo da área base
  • Exemplo
• 4 - Cálculo da área total
  • Exemplo
• 5 - Exercícios resolvidos

Planificação de um prisma

A ideia da planificação é transformar uma figura de três dimensões em uma figura de duas dimensões. Na prática seria o equivalente a cortar sobre as arestas do prisma. Veja a seguir o exemplo de planificação de um prisma triangular.

O mesmo processo pode ser adotado para todo prisma, entretanto, veja que, à medida que aumentamos o número de lados dos polígonos da base, a tarefa fica cada vez mais difícil. Por esse motivo, faremos as generalizações com base na planificação desse polígono.

Cálculo da área lateral

Observando a imagem do prisma triangular, temos que os paralelogramos ABFC, ABFD e ACDE são as faces laterais. Note que as faces laterais de um prisma sempre serão paralelogramos independentemente do número de lados dos polígonos da base, isso acontece, pois elas são paralelas e congruentes.

Observando a figura do prisma triangular, vemos também que temos três faces laterais. Isso ocorre por conta do número de lados do polígono da base, ou seja, se as bases do prisma forem um quadrilátero, teremos quatro faces laterais, se as bases forem um pentágono, teremos cinco faces laterais, e assim sucessivamente. Dessa forma: o número de lados do polígono da base afeta a quantidade de faces laterais do prisma.

Portanto, a área lateral (AL) de qualquer prisma é dada pela área de uma face lateral multiplicada pela quantidade de faces laterais, ou seja, é a área do paralelogramo multiplicada pelo número de lados da face.

AL = (base · altura) · número de lados da face

• Exemplo

Calcule a área lateral de um prisma hexagonal regular com aresta da base igual a 3 cm e altura igual a 11 cm.

O prisma em questão é representado por:

A área lateral então é calculada pela área do retângulo vezes a quantidade de lados do polígono da base, que é 6, logo:

AL = (base · altura) · número de lados da face

AL = (3 · 11) · 6

AL = 198 cm2

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Cálculo da área base

A área da base (AB) de um prisma depende do polígono que a compõe. Como em um prisma temos duas faces paralelas e congruentes, a área da base é dada pela soma das áreas dos polígonos paralelos, isto é, duas vezes a área do polígono.

AB = 2 · área do polígono

Leia também: Áreas de figuras planas

• Exemplo

Calcule a área da base do um prisma hexagonal regular com aresta da base igual a 3 cm e altura igual a 11 cm.

A base desse prisma é um hexágono regular, e esse, visto de cima, fica:

Observe que os triângulos formados no interior do hexágono são equiláteros, logo, a área do hexágono é dada por seis vezes a área do triângulo equilátero.

Entretanto observe que, no prisma, temos dois hexágonos, logo, a área da base é duas vezes a área do polígono.

Cálculo da área total

A área total (AT) de um prisma é dada pela soma da área lateral (AL) com a área da base (AB).

AT = AL + AB

• Exemplo

Calcule a área total do um prisma hexagonal regular com aresta da base igual a 3 cm e altura igual a 11 cm.

Dos exemplos anteriores, temos que AL = 198 cm2 e AB = 27√3 cm2. Logo, a área total é dada por:

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Um galpão tem o formato de um prisma que tem como base um trapézio, como mostra a figura.

Deseja-se pintar esse galpão e sabe-se que o preço da tinta é de 20 reais por metro quadrado. Quanto será gasto para pintar esse galpão? (Dado: √2 = 1,4)

Solução

Inicialmente vamos determinar a área do galpão. Sua base é um trapézio, logo:

Portanto, a área da base é:

AB = 2 ·Atrapézio

AB = 2 ·10

AB = 20 m2

            A área lateral em vermelho é um retângulo, e temos a parte de baixo, logo, essa área é:

AV = 2 · 4· 14

AV= 112 m2

A área em azul também é um retângulo, mas não temos sua base. Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo trapézio, temos:

x2 = 22 + 22

x2 = 8

x = 2√2

Assim a área do retângulo em azul é:

AA = 2 ·14·2√2

AA = 54√2 m2

Portanto, a área lateral do prisma é igual a:

AL = 112 +  54√2

AL = 112 + 75,6

AL = 187,6 m2

E assim a área total desse prisma é:

AT= 20 + 187,6

AT= 207,6 m2

Como o preço da tinta é de 20 reais por metro quadrado, o valor gasto para pintar o galpão é:

20 ·207,6 = 4.152 reais

Resposta: O valor gasto para pintar o galpão é de R$ 4.152,00

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

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