Teorema cuja demonstração costuma ser atribuída ao matemático e filósofo grego Pitágoras e que diz o seguinte: "Num triângulo retângulo, o quadrado da medida do seu lado maior (hipotenusa) é igual à soma dos quadrados das medidas dos seus lados menores
(catetos)."
Embora Pitágoras tenha dado, juntamente com os restantes elementos da escola que fundou, importantes contributos para o desenvolvimento do conhecimento matemático, não é correta a ideia de que tenha sido ele a descobrir o famoso teorema, uma vez que se conhecem inscrições babilónicas muito anteriores ao seu tempo onde aparecia enunciado o seu princípio. Não é sequer certo que tenha sido Pitágoras ou algum dos seus seguidores a provar pela primeira vez a sua veracidade.
Representação gráfica do Teorema de Pitágoras
Pitágoras - o fundador de uma das mais enigmáticas escolas de filosofia antiga
Independentemente destes factos, o teorema tem uma importância
fundamental para a geometria, servindo como base para a definição de distância entre dois pontos, para além de estabelecer uma relação constante entre os três lados de um triângulo retângulo, relação essa que se reveste de grande interesse prático.
Uma forma alternativa, e mais intuitiva, de estabelecer o Teorema de Pitágoras é a seguinte:
A área do quadrado construído a partir da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos a partir de cada um
dos catetos desse mesmo triângulo.
Pode provar-se (existem, aliás, centenas de provas conhecidas) que, de facto, A1 = A2 + A3, ou seja, h2 = a2 + b2,uma vez que a área de qualquer quadrado de lado n é dada por n2.
De notar que o teorema é
reversível, isto é, também é verdade que um triângulo cujos lados obedeçam à condição h2 = a2 + b2 é, forçosamente, um triângulo retângulo.
Saliente-se, ainda, que o Teorema de Pitágoras é generalizável a espaços com mais de duas dimensões. Concretamente, considerando no espaço tridimensional o prisma retangular com as dimensões indicadas na
figura
é verdade que D2 = A2 + B2 + C2.
O Teorema de Pitágoras é dos mais conhecidos teoremas da matemática. Deve o seu nome ao matemático grego Pitágoras de Samos que foi, não o seu inventor ou descobridor (porque o teorema já era conhecido muito antes do aparecimento de Pitágoras), mas o primeiro matemático a demonstrar a sua veracidade. Para mais facilmente memorizares o teorema, aqui fica uma pequena lengalenga que os meus professores me ensinaram no meu tempo de estudante e que nunca mais esqueci:
"Pitágoras de Siracusa
disse um dia aos seus netos:
o quadrado da hipotenusa
é igual a soma do quadrado dos catetos."
Mas qual o motivo deste teorema ser tão importante?
Por uma razão muito simples, porque conhecendo duas das medidas dos lados de um triângulo retângulo, torna-se fácil descobrir a medida do lado em falta. Essa importância é mais evidente, quando nos apercebemos que estamos rodeados de triângulos retângulos por todo o lado, uma vez que, uma boa parte da natureza (uma árvore faz um ângulo reto com o solo) e das construções humanas (edifícios, pontes, monumentos) assentam em ângulos retos.
Como reconhecer os catetos e a hipotenusa?
É fácil, o lado maior, aquele que está do lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os outros dois lados que formam o ângulo reto são os catetos.
Qual é então a famosa fórmula do Teorema de Pitágoras?
Tendo em conta aquilo que foi dito na lengalenga acima referida, a fórmula matemática é a seguinte: `H^2 = C_1^2 + C_2^2`
Podiam dar um exemplo prático?
Vamos supor que pretendemos colocar uma escada junto a um prédio com 12 metros de altura. Tendo em conta que a escada vai ficar 5 metros afastada do prédio, qual deverá ser o comprimento da escada, de modo a que, esta consiga alcançar o topo do prédio?
Reparem que a escada, em conjunto com a parede do prédio e o chão formam um triângulo retângulo. Assim sendo, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras para calcular o comprimento da escada. O comprimento da escada é a hipotenusa, o chão é um dos catetos e a parede do prédio é o outro cateto. Os cálculos para encontrar o comprimento da escada seriam feitos da seguinte forma:
`H^2
= C_1^2 + C_2^2 hArr`
`x^2 = 5^2 + 12^2 hArr`
`x^2 = 25 + 144 hArr`
`x^2 = 169 hArr`
`x = sqrt(169) hArr`
`x = 13`
Posso utilizar o Teorema de Pitágoras em qualquer triângulo?
Não, o Teorema de Pitágoras só pode ser utilizado em triângulos retângulos, ou seja, triângulos formados por um ângulo de 90º. Felizmente é possível, em praticamente todos os polígonos, dividi-los de forma a obter, um ou vários, triângulos retângulos. Um quadrado por exemplo é formado por dois triângulos retângulos iguais.
Então, e se o triângulo não for retângulo?
Bom, nesse caso usa-se uma outra lei conhecida como lei dos cossenos, que permite calcular o terceiro lado de qualquer triângulo, desde que se conheça o comprimento de dois dos seus lados e o ângulo por eles formado. O Teorema de Pitágoras é um caso particular desta lei!
Como é que se prova que a fórmula é válida para qualquer triângulo retângulo?
Como curiosidade, fica sabendo que o livro "The Pythagorean Proposition" contém 370 demonstrações diferentes do Teorema de Pitágoras! Para não estar a ser demasiado técnico, em vez de demonstrações difíceis de perceber, deixo aqui duas pequenas animações que servem para ilustrar que a fórmula do Teorema de Pitágoras é válida para qualquer triângulo retângulo.
Já ouvi falar em Terno Pitagórico, o que é isso?
Trata-se de um conjunto de três números inteiros e positivos, ou seja, naturais (por vezes também designados por trio pitagórico ou tripla pitagórica), a partir dos quais é possível "construir" um triângulo retângulo com essas medidas. A título de exemplo aqui ficam os primeiros cinco ternos pitagóricos: `(3,4,5)`; `(5,12,13)`; `(7,24,25)`; `(8,15,17)` e `(9,40,41)`.
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Gostarias de referir este texto num trabalho escolar?
NUNES, Vitor F. R. "Para que serve o Teorema de Pitágoras?", matematica.pt. Disponível em: //www.matematica.pt/faq/teorema-pitagoras.php, acedido em 02 de Outubro de 2022.
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Foram feitos 3 comentários/dúvidas.
24 de Setembro de 2020, 13h35
Mensagem de Joyce
Parabéns pelo trabalho!! Estou utilizando seu material com meus alunos para as atividades na plataforma.
24 de Setembro de 2020, 14h59
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Joyce,
Obrigado pela mensagem de agradecimento. Aproveito a oportunidade para divulgar que pode colocar em prática o Teorema de Pitágoras através da seguinte calculadora.
28 de Novembro de 2021, 16h22
Mensagem de Anónimo
Muitos parabéns ficou um trabalho excelente.
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