As propriedadesdas potências são aplicadas no estudo de potenciação de números reais. Essas propriedades são técnicas desenvolvidas com o objetivo de facilitar as operações entre os números que possuem expoentes, sendo muito úteis nas áreas de estudos da Física, Química e Biologia, além de serem também aplicadas constantemente no trabalho com notações científicas. Show
Existem várias propriedades aplicadas quando temos divisão ou multiplicação de potências de mesma base e potência de potência. Também há casos particulares estudados, como as potências de expoente um, expoente zero e expoente fracionário. Leia também: Notação científica – o uso de potências de base dez para representar números 1ª propriedade – Multiplicação de potências de mesma basePara simplificar a multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes. Exemplo 1: 54· 5² = 5·5·5·5·5·5 = 56 Logo, temos que: 54· 5² = 54+2=56 Se necessário, é possível encontrar a potência de 56 realizando a multiplicação sucessiva de 5 por ele mesmo 6 vezes, porém, no uso da propriedade, o interesse é representar a multiplicação de duas ou mais potências como uma potência só. Exemplo 2: 2³ · 25 · 22=23+5+2=210 2ª propriedade – Divisão de potências de mesma baseNa divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos o expoente do numerador pelo expoente do denominador. Exemplo 1: Logo, temos que: 28 : 25 = 28-5 = 2³ Note que realizar a simplificação é bem mais prático do que resolver essas potências de forma separada e depois fazer a divisão. Como ressaltado anteriormente, a intenção das propriedades é simplificar e facilitar as contas com potências. Exemplo 2: Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) 3ª propriedade – Potência de potênciaAo calcular a potência de uma potência, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes. Exemplo 1: (5³)² = (5 · 5 · 5)² = (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 56 Logo, temos que: (5³)² =53 · 2 = 56 Assim como as duas propriedades anteriores, a aplicação dessa propriedade ajuda a realizar essa operação de forma mais rápida Exemplo 2 (45)-3 = 45 · (-3) =4-15 4ª propriedade – Potência de um produtoDado um produto de dois números reais elevados a um expoente, podemos elevar cada um dos fatores a esse expoente. Exemplo: (2 · 4)3=(2 · 4)(2 · 4)(2 · 4) = 2 · 2 · 2 · 4 · 4 · 4 = 23 · 43 Logo, temos que: (2 · 4)3 = 23 · 43 5ª propriedade – Potência do quocienteConhecida como potência de um quociente e análoga à propriedade anterior, sempre que houver uma potência de um quociente, podemos calcular a potência do dividendo e a potência do divisor. Exemplo: (6 : 4)² = (6 : 4) · (6 : 4) = 6² · 4² Logo, temos que: (6 : 4)² =6² : 4² As propriedades de potências ajudam bastante na hora de resolver problemas com potências.Casos particulares de potênciaExistem alguns casos particulares de potência que merecem ser ressaltados, já que conhecer cada um deles é tão importante quanto o domínio das próprias propriedades. São eles:
→ Potência unitáriaTodo número elevado a um é ele mesmo. Exemplos: a) 123¹ = 123 b) 0,54¹ = 054 → Potência de expoente zeroTodo número diferente de zero elevado a zero é igual a um. Nesse caso existe uma restrição para a base, pois a potência 00 é uma indeterminação, ou seja, não possui uma resposta nos números reais, assim como a divisão do número zero. Exemplos: 100= 1 → Potência de uma fraçãoComo consequência da propriedade da potência de um quociente, lembrando que a fração é uma divisão, ao calcular uma potência de uma fração, podemos separar a potência desta forma: Exemplos: Leia também: Potências com expoente fracionário e decimal → Potência com um expoente negativoPara calcular a potência de um expoente negativo, escrevemos o inverso da base e trocamos o sinal do expoente. Quando a base da potência for um número inteiro, basta escrevermos um sobre a base. Exemplo: Quando a base for um número decimal, é necessário realizar a sua representação como uma fração. Quando a base é uma fração, para encontrar o inverso de uma fração, invertemos o numerador com o denominador. Exemplo: → Potência com expoente fracionárioQuando o expoente é fracionário, podemos transformar essa potência em uma radiciação. Exemplo: Leia também: Resolvendo raízes por meio da fatoração Exercícios resolvidos1) Simplificando a expressão (a3 · b-7 · a2) : (a2 · b-4)2, encontraremos: a) a/b b) ab c) b d) a²b Resolução: Letra B. Usando as propriedades de multiplicação de potência de mesma base, potência de potência e divisão de potência de mesma base, temos que: (a³ · b-7· a²) : (a² · b-4)² 02) (IFG) O valor da expressão aritmética abaixo é equivalente a: a) 8/17 b) -8/17 c) 16/17 d) -16/17 Resolução: Letra D. Resolvendo primeiro o numerador, temos que: Agora vamos resolver o denominador: Como temos uma divisão do numerador pelo denominador, vamos multiplicar pelo inverso da segunda fração: Como escrever um radical na forma de potência?Para transformarmos radicais em potências, fazemos assim: O radicando fica sendo a base da potência; O expoente será a fração, cujo numerador é o expoente do radicando e o denominador é o índice do radical. Quando temos radical de radical, repetimos o radicando e multiplicamos os índices.
O que e forma de radical?Os radicais são uma forma de representação matemática em que os temos o produto a partir de uma multiplicação onde os fatores são iguais em seu fundamento.
Como escrever os radicais na forma de potência com expoente fracionário?Para transformar uma potência com expoente fracionário em raiz, seguimos os passos: A base da potência se transforma na base do radicando (o número na raiz); O numerador da fração se transforma no expoente do radicando; O denominador se transforma no índice da raiz.
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