O problema do aniversário. Considere k pessoas numa sala. Qual a probabilidade de que pelo menos duas pessoas façam aniversário no mesmo dia e mês? A partir de qual valor de k essa probabilidade é maior que 0,5?(Sugestão: seja o e v e n t o “ p e l o m e n o s d u a s p e s s o a s f a z e m a n i v e r s á r i o n o m e s m o d i a ” .O evento complementar é A c : “todas as k pessoas fazem aniversário em dias diferentes”.Calcule primeiro a P ( A c ) . Para isso, use o resultado do Problema 53. Aqui, temos N = 365dias e k = n pessoas. Se P ( A ) = p, então mostre que 1 - p = P A C = 365 k 365 k = 365 × 364 × 363 × … × 365 - k + 1 365 k .Note que há k fatores no numerador e no denominador dessa expressão.)Passo 1A probabilidade de que duas pessoas aniversariem em datas distintas é de 364 / 365, considerando que há 364 datas disponíveis para que a segunda pessoa faça aniversário, desconsiderando a data de aniversário da primeira. Show
Com raciocínio análogo, é fácil verificar que a probabilidade de uma terceira pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que nenhuma das outras duas pessoas é de 363 / 365, e assim por diante. Daí, temos que a probabilidade de que ocorram todos estes eventos, ou seja, que nenhuma data coincida, é o produto dessas probabilidades. Assim, em um conjunto com k pessoas, teríamos: 1 - p = P A C = 365 365 × 364 365 × 363 365 × 362 365 × ⋯ × 365 - k + 1 365 Com uma boa calculadora em mãos, podemos calcular qual seria esta probabilidade para alguns valores de k. Para k = 23, por exemplo, a probabilidade é de ≈ 50,72 %. RespostaAssim, concluímos os resultados. Ver Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosUm dado é lançado e, independentemente, uma carta é extraída Ver Mais Sejam A e B dois eventos associados um experimento. Suponha Ver Mais Se P ( A | B ) = 0.3 ,P ( B ) = 0.8eP ( A ) = 0.3 , o evento Ver Mais Se P ( A | B ) = 0.3 ,P ( B ) = 0.8eP ( A ) = 0.5 , os event Ver Mais 2-112. Um cartão de crédito contém 16 dígitos. Ele contém ta Ver Mais Ver Também Ver Livro Bussab - Estatística BásicaVer tudo sobre Cálculo de ProbabilidadesLista de exercícios de Eventos Independentes & Mutuamente ExclusivosVer exercício 10.Problemas - 30Ver exercício 10.Problemas - 40bDado que há 50 pessoas em uma sala, qual a probabilidade de que pelo menos duas delas façam aniversário no mesmo dia do ano (365 dias)?Pensou? Aproximadamente, qual a probabilidade? Resposta abaixo! A probabilidade de que pelo menos duas dessas pessoas façam aniversário no mesmo dia é aproximadamente 0,97=97%! Como? Não é muita coisa? Essa resposta não é intuitiva, pois nós não estamos condicionados a pensar probabilisticamente. Para deixar bem claro como fiz a conta, vou expor o passo-a-passo do cálculo abaixo. Primeiramente definiremos o evento En como sendo a situação em que há n pessoas em uma sala e pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo dia, logo estamos interessados na probabilidade de En ou P(En). Veja que En é um evento muito complicado de se trabalhar, pois há uma infinidade de possibilidades dentro deste — quando digo que que há pelo menos 2 pessoas que fazem aniversário no mesmo dia, pode ser que duas façam no mesmo dia e mais duas façam em outro e mais 3 façam em outro, por exemplo. O problema está na parte “pelo menos duas pessoas”. Para lidar com este problema vamos definir ~En como sendo o evento complementar a En, ou seja, ~En descreve a situação em que nenhuma das n pessoas fazem aniversário no mesmo dia. Essa definição implica que P(En)+P(~En)=1, pois esses dois eventos conseguem descrever a totalidade do conjunto de situações e têm intersecção vazia (não podem ocorrer simultaneamente). Com uma simples operação algébrica chegamos que P(En)=1-P(~En) — falta somente achar uma maneira de se calcular P(~En). Com o objetivo de tornar o cálculo mais palpável, vamos generalizá-lo de maneira indutiva. Primeiramente começaremos adotando n=2. Vamos então calcular P(En|n=2), ou seja, a probabilidade de que pelo menos duas dessas pessoas façam aniversário no mesmo dia dado que há somente 2 pessoas na sala. Como já foi visto, podemos reescrever a probabilidade que desejamos da seguinte maneira P(En|n=2)=1-P(~En|n=2). A probabilidade pode ser pensada como o número de possibilidade a favor do evento, ou que cumprem o evento, sobre o número total de possibilidades. Assim o cálculo se torna possível, para o caso n=2, da seguinte maneira: uma das pessoas, no caso, a “primeira pessoa”, faz aniversário em um dia fixo, que é desconhecido — sendo assim, a segunda pessoa pode fazer aniversário em outros 364 dias sem que haja coincidência de dias. Isso implica que dentro de um conjunto de 365 dias posso escolher 364 para que meu evento ~En, dado n=2, seja satisfeito → P(~En|n=2)=364/365. Então, a probabilidade que quero pode ser calculada da seguinte maneira: Vamos agora fazer para o caso em que n=3. Mesmo com a mudança de n, o raciocínio que devemos seguir é o mesmo. Sendo que a primeira pessoa faz aniversário em um dia fixo, que é desconhecido, a segunda pessoa pode fazer aniversário em outros 364 dias e a terceira pode fazer em 363 dias, sem que haja coincidência de dias. Pelo Princípio da Contagem (da Análise Combinatória) a quantidade de situações possíveis para o cumprimento do evento ~En, dado n=3, é 364 x 363=132132, enquanto o número total de possibilidades seria 365 x 365=133225, pois a segunda e a terceira pessoa podem fazer aniversário em qualquer dia do ano, cumprindo ou não o evento. Logo a probabilidade desejada, pode ser calculada da seguinte maneira: Aplicando a mesma lógica para n=4, obteríamos: Dado que ficou mais fácil entender como o cálculo é feito para qualquer n, podemos generalizar para o caso em que n=x, por exemplo. A fórmula abaixo consegue tal feito: É interessante reescrever tal fórmula de uma outra maneira, mais limpa: Bom, agora que temos nossa fórmula fica fácil checar que P(En|n=50)=1-P(~En|n=50)=0,9703=97,03% !!!!! Problema resolvido. Como conteúdo extra disponibilizo um gráfico que fiz em R, no qual, no eixo horizontal está o nosso n=x, ou seja, o número de pessoas na sala e no eixo vertical a probabilidade de que pelo menos duas pessoas presentes façam aniversário no mesmo dia. É importante dizer que a probabilidade somente chega a 1 quando n=366, no entanto, nossa fórmula vale somente até n=365. Felipe Maia Polo — Graduando em Ciências Econômicas pela Unversidade de São Paulo Qual a chance de 2 pessoas fazerem aniversário no mesmo dia?Em teoria das probabilidades, o paradoxo do aniversário afirma que dado um grupo de 23 pessoas escolhidas aleatoriamente, a chance de que duas pessoas terão a mesma data de aniversário é de mais de 50%.
Qual a probabilidade de alguém fazer aniversário no mesmo dia?Ou seja, a probabilidade de ninguém fazer aniversário no mesmo dia num grupo de 23 pessoas é 365 × 364 × … × 343/365²³ = 49%. Se a chance de ninguém fazer aniversário no mesmo dia é de 49%, por consequência, a chance de alguém fazer aniversário no mesmo dia é de 51%!
Quantas pessoas precisam estar reunidas para termos certeza que duas delas fazem aniversário no mesmo mês?Problema 1
Qual o número mínimo de pessoas que devemos reunir para que tenhamos certeza de que duas entre elas fazem aniversário no mesmo mês? Resposta: O número mínimo de pessoas é 13.
Como é calculada a probabilidade?Como se calcula a probabilidade? A probabilidade é calculada por meio de uma divisão simples. Basta dividir o número de eventos pelo número de resultados possíveis, conforme se vê na fórmula p = n(e)/n( Ω ). Exemplo: Há uma possibilidade de tirar 3 num dado de 6 números, logo 1/6.
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Em um grupo de n pessoas, qual a probabilidade de que pelo menos duas façam aniversário no mesmo dia
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