Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais externos

Retas paralelas são aquelas que não se interceptam em nenhum ponto. Uma reta é transversal à outra se ambas apresentam apenas um ponto em comum. Ao traçarmos duas retas r e s, tal que r // s (“r é paralela a s”), e também uma reta transversal t que intercepte r e s, haverá a formação de oito ângulos. Na imagem a seguir, identificamos esses ângulos por a, b, c, d, e, f, g, h.

Experimente fazer um desenho semelhante a esse que foi mostrado de duas retas paralelas cortadas por uma transversal. Ao finalizar seu desenho, divida-o ao meio, cortando-o entre as retas paralelas. Se você colocar os ângulos formados pelas retas s e t exatamente em cima dos ângulos formados pelas retas r e s, observará que eles são exatamente iguais.

Podemos classificar os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal de acordo com a posição desses ângulos. Se eles estiverem entre as retas paralelas, dizemos que esses ângulos são internos; caso contrário, dizemos que eles são externos. Na figura a seguir, os ângulos externos estão na faixa azul, enquanto os ângulos internos estão na faixa amarela. Ao analisarmos dois ângulos, eles podem estar do mesmo lado ou em lados alternados em relação à reta transversal. Se dois ângulos estão à direita ou ambos estão à esquerda da reta t, dizemos que esses ângulos são colaterais; mas se estão em lados alternados, um à direita, e o outro à esquerda, dizemos que esses ângulos são alternos.

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Sabendo que os ângulos formados pelas retas r e t são iguais aos formados pelas retas s e t, podemos afirmar que os pares de ângulos abaixo são correspondentes:

• a e e

• b e f

• c e g

• d e h

Estes pares de ângulos colaterais correspondentes, acima mencionados, possuem a mesma medida. Mas sabemos que os ângulos opostos pelo vértice são congruentes, isto é, também possuem a mesma medida. Então, podemos dizer que:

• a = c = e = g
• b = d = f = h

Os ângulos d e f e também e e c podem ser classificados como ângulos alternos internos, pois estão na região interna e em lados alternados. Os ângulos d e e, bem como os c e f, podem ser classificados como ângulos colaterais internos, uma vez que estão na região interna e do mesmo lado em relação à reta t.

Semelhantemente, os ângulos a e h, assim como b e g, são ângulos colaterais externos, pois estão na região externa e do mesmo lado em relação à reta t. Assim como os ângulos a e g, bem como b e h, são ângulos alternos externos, pois estão na região externa e em lados alternados em relação à reta transversal t.

Na figura a seguir, podemos ver claramente os ângulos alternos internos, colaterais internos, alternos externos e colaterais externos formados através de duas retas paralelas cortadas por uma transversal:

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática

Estes exercícios sobre retas paralelas cortadas por uma transversal exigem o domínio sobre as propriedades dos ângulos de acordo com a sua posição. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais externos, cujas medidas, em graus, são dadas por 3x + 20° e 2x – 15°. Calcule a medida desses ângulos.

Na figura a seguir, as retas r, s e t são paralelas e interceptadas por duas retas transversais u e v. Determine o valor do ângulo x.

(Cesgranio) As retas r e s da figura são paralelas cortadas pela transversal t. Se a medida do ângulo B é o triplo da medida do ângulo A, então B – A vale:

a) 90°

b) 85°

c) 80°

d) 75°

e) 60°

(UFG) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é:

a) 100°

b) 120°

c) 110°

d) 140°

e) 130°

respostas

Se os ângulos são colaterais externos, sua soma resulta em 180°. Sendo assim, temos:

3x + 20° + 2x – 15° = 180°

5x + 5° = 180°

5x = 180° – 5°

5x = 175°

x = 175°
     5

x = 35°

Tendo o valor de x conhecido, vamos agora identificar o valor dos ângulos:

3x + 20° = 3.35° + 20° = 105° + 20° = 125°

2x – 15° = 2.35° – 15° = 70° – 15° = 55°

Os ângulos procurados medem 55° e 125°.

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Analisando os ângulos formados pelas intersecções das retas paralelas com as transversais, podemos destacar um ângulo y suplementar ao ângulo de 110° e correspondente ao ângulo y', e z como o ângulo suplementar a x'. Veja na figura a seguir a representação dos ângulos x', y' e z:

Vamos identificar primeiro o valor de y, lembrando que ele é suplementar a 110°:

y + 110° = 180°

y = 180 – 110°

y = 70°

Mas como y = y', então y' = 70°. Vamos agora calcular o valor de z, sabendo que z + 80° + y' = 180°:

z + 80° + y' = 180°

z + 80° + 70° = 180°

z = 180° – 150°

z = 30°

Como já havíamos afirmado, x' e z são suplementares, logo:

x' + z = 180°

x' + 30 = 180°

x' = 180° – 30°

x' = 150°

Mas como x = x', podemos concluir que x = 150°.

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Pela figura podemos identificar que existe um ângulo B' correspondente ao ângulo B tal que B' é suplementar a A, como podemos ver na figura a seguir:

Mas se B' e A são suplementares, podemos afirmar que B' + A = 180°. Mas se B' é correspondente a B, é correto afirmar que B + A = 180°, pois B' = B. De acordo com o enunciado, sabemos ainda que B = 3.A, sendo assim, temos:

B + A = 180°

3.A + A = 180°

4.A = 180°

A = 180°
     4

A = 45°

Vamos agora determinar o valor de B:

B + A = 180°

B + 45° = 180°

B = 180° – 45°

B = 135°

Resta-nos identificar o valor de B – A:

B – A = 135° – 45° = 90°

Portanto, a alternativa correta é a letra a.

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Pela figura podemos notar que o ângulo 120° é correspondente à soma dos ângulos 2x e 4x. Sendo assim, temos:

2x + 4x = 120°

6x = 120°

x = 120°
    6

x = 20°

Podemos ainda observar que os ângulos b e 4x são colaterais internos, isto é, a soma desses ângulos resulta em 180°, então:

b + 4.x = 180°

b + 4.20° = 180°

b + 80° = 180°

b = 180° – 80°

b = 100°

A alternativa correta é a letra a.

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