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A
área em vermelho é o complementar de A em U, .
No exemplo, o conjunto A está representado pela circunferência em branco enquanto que o conjunto universo U é representado por
todo o retângulo.
Em teoria dos conjuntos, o complementar de um subconjunto se refere a elementos que não estão no conjunto . Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um conjunto universo , sendo o conjunto o complementar de formado pelos elementos de que não pertencem a . De maneira mais geral, define-se o complementar de em relação a , também chamado de diferença de conjuntos, como o conjunto dos elementos de que não estão em .
Diferença de conjuntos[editar | editar código-fonte]
Definição[editar | editar código-fonte]
Se A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B [1], também conhecido como diferença de B e A [2], é o conjunto de elementos de B que não estão em A.
A diferença de B para A é geralmente denotada . Às vezes é escrito , mas esta notação é ambígua, já que, em alguns contextos, pode ser interpretada como o conjunto de todos os elementos de b - a, onde b é tomado a partir de B e a a partir de A.
Formalmente:
Exemplos[editar | editar código-fonte]
- .
- .
Propriedades[editar | editar código-fonte]
Sejam A, B e C três conjuntos. As seguintes identidades mostram propriedades importantes da diferença de conjuntos:
- .
Em vermelho, a diferença de B (círculo da direita) e A (círculo da esquerda):
Complementar do conjunto[editar | editar código-fonte]
Definição[editar | editar código-fonte]
Se A é um conjunto, então o complementar de A é o conjunto de elementos que não estão em A. Em outras palavras, se U é o universo que contém todos os conjuntos que estão sendo estudados no problema de modo que não é necessário mencioná-lo quando ele é óbvio e único, então o complementar de A é a diferença entre os conjuntos U e A, sendo representado normalmente como:
.Formalmente:
Outras notações incluem , , , , e .[3]
Exemplos[editar | editar código-fonte]
- Assuma que o universo é o conjunto dos inteiros. Se A é o conjunto dos números ímpares, então o complementar de A é o conjunto de números pares. Se B é o conjunto de múltiplos de 3, então o complementar de B é o conjunto de números congruentes a 1 ou 2 módulo 3.
- Assuma que o universo é um baralho padrão de 52 cartas. Se o conjunto A é o naipe de espadas, então o complementar de A é a união do naipe de copas, paus, e ouros.
Propriedades[editar | editar código-fonte]
Sejam A e B dois conjuntos no universo U. As seguintes identidades mostram propriedades importantes de complementares:
Teoremas de De Morgan:[1]Leis de complementar:[1]Involução ou lei do duplo complementar:As duas primeiras leis acima mostram que se A é não-vazio, subconjunto próprio de U, então {A, Ac} é uma partição de U.
Notação em LaTeX[editar | editar código-fonte]
Na linguagem de diagramação de textos LaTeX, o comando \setminus[4] é normalmente o utilizado para representar o símbolo de diferença de conjuntos, similar ao comando backslash. Existe também um variante \smallsetminus disponível no pacote amssymb.
Complementar em várias linguagens de programação[editar | editar código-fonte]
Algumas linguagens de programação permitem a manipulação de conjuntos como estruturas de dados, usar estes operadores como função para construir a diferença entre dois conjuntos a e b:
.NET Frameworka.Except(b);C++set_difference(a.begin(), a.end(), b.begin(), b.end(), result.begin());Clojure(clojure.set/difference a b)[5]Common Lispset-difference, nset-difference[6]F#Set.difference a b[7]or
a - b[8]Falcondiff = a - b[9]Haskelldifference a ba \\ b[10]Javadiff = a.clone(); diff.removeAll(b);[11]Juliasetdiff[12]MathematicaComplement[13]MATLABsetdiff[14]OCamlSet.S.diff[15]Octavesetdiff[16]PARI/GPsetminus[17]PascalSetDifference := a - b;Perl 5# for perl version >= 5.10 @a = grep {not $_ ~~ @b} @a;
Perl 6$A ∖ $B $A (-) $B # texas version
PHParray_diff($a, $b);[18]Prologa(X),\+ b(X).Python diff = a.difference(b)[19]diff = a - b[19]Rsetdiff[20]Racket(set-subtract a b)[21]Rubydiff = a - b[22]Scalaa.diff(b)[23]or
a -- b[23]Smalltalk (Pharo)a difference: bSQLSELECT * FROM A EXCEPT SELECT * FROM B
Unix shellcomm -23 a b[24]Ver também[editar | editar código-fonte]
- Conjunto
- Teoria ingênua dos conjuntos
- Diferença simétrica
Referências
- ↑ a b c Halmos 1960, p. 17.
- ↑ Devlin 1979, p. 6.
- ↑ Bourbaki 1970, p. E II.6.
- ↑ [1] The Comprehensive LaTeX Symbol List
- ↑ [2] clojure.set API reference
- ↑ Common Lisp HyperSpec, Function set-difference, nset-difference. Accessed on September 8, 2009.
- ↑ Set.difference<'T> Function (F#)[ligação inativa]. Accessed on July 12, 2015.
- ↑ Set.( - )<'T> Method (F#)[ligação inativa]. Accessed on July 12, 2015.
- ↑ Array subtraction, data structures. Accessed on July 28, 2014.
- ↑ «Data.Set (Haskell)». Consultado em 29 de agosto de 2016. Arquivado do original em 28 de maio de 2009
- ↑ Set (Java 2 Platform SE 5.0). JavaTM 2 Platform Standard Edition 5.0 API Specification, updated in 2004. Accessed on February 13, 2008.
- ↑ [3] Arquivado em 15 de outubro de 2014, no Wayback Machine.. The Standard Library--Julia Language documentation. Accessed on September 24, 2014
- ↑ Complement. Mathematica Documentation Center for version 6.0, updated in 2008. Accessed on March 7, 2008.
- ↑ Setdiff. MATLAB Function Reference for version 7.6, updated in 2008. Accessed on May 19, 2008.
- ↑ Set.S (OCaml).
- ↑ [4]. GNU Octave Reference Manual
- ↑ «PARI/GP User's Manual» (PDF). Consultado em 29 de agosto de 2016. Arquivado do original (PDF) em 11 de setembro de 2015
- ↑ PHP: array_diff, PHP Manual
- ↑ a b [5]. Python v2.7.3 documentation. Accessed on January 17, 2013.
- ↑ R Reference manual p. 410.
- ↑ [6]. The Racket Reference. Accessed on May 19, 2015.
- ↑ Class: Array Ruby Documentation
- ↑ a b scala.collection.Set. Scala Standard Library 2.11.7, Accessed on July 12, 2015.
- ↑ comm(1), Unix Seventh Edition Manual, 1979.
Ligações externas[editar | editar código-fonte]
- Weisstein, Eric W. «Complement» (em inglês). MathWorld
- Weisstein, Eric W. «Complement Set» (em inglês). MathWorld