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PROBABILIDADE Procura quantificar numericamente a chance de que um acontecimento ocorra. Foi criada a partir dos jogos de azar e hoje é uma poderosa ferramenta utilizada para se entender a variabilidade de um fenômeno. Para iniciarmos o estudo da probabilidade, precisamos definir alguns conceitos importantes sobre este tópico. Experimento aleatório: podem ocorrer nas mesmas condições ou em condições semelhantes, e podem apresentar resultados diferentes a cada ocorrência. Exemplos: Se lançarmos uma moeda ao chão para observarmos a face que ficou para cima, o resultado é imprevisível, pois tanto pode dar cara, quanto pode dar coroa. Se ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o resultado será mais imprevisível ainda, pois aumentamos o número de possibilidades de resultado. Espaço amostral (S): consiste em todos os resultados possíveis para o experimento, ou seja, todas as possibilidades diferentes que o experimento aleatório pode mostrar. Exemplo: O lançamento ou as faces de um dado S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Tipos de Espaço Amostral 1) Finito: tem um número finito de elementos Exemplo: Lançamento de um dado S={1,2,3,4,5,6} 2) Infinito enumerável ou contável: tem um número infinito de elementos e numeráveis Exemplo: Uma moeda é lançada sucessivas vezes até que ocorra uma coroa(c) S={c,kc,kkc,kkkc,kkkkc,...} 3) Infinito não enumerável ou não contável: tem um número infinito de elementos não enumeráveis Exemplo: Observar o tempo de vida de uma lâmpada Evento: é o subconjunto do espaço amostral ou seja, é o que se quer que ocorra dentro do experimento. Sempre deve ser considerado o evento impossível (aquele que nunca ocorre) e o evento certo (que é próprio espaço amostral S) Exemplo: No lançamento de um dado, considere o evento quando ocorre um número par: S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} E= {2, 4, 6} c) Diferença: O evento A - B ocorre quando ocorre o evento A mas não ocorre o evento B. d) Complementar: O evento AC ocorre quando o evento A não ocorre. com 0 ≤ P(A) ≤ 1 bola marrom? Axiomas da probabilidade Considere os eventos A e B associados ao espaço amostral S. � O valor de uma probabilidade será maior ou igual a zero ou menor ou igual a 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 � A probabilidade do espaço amostral é sempre igual a 1. P (S) = 1 � Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então: P(AUB)=P(A) + P(B) Teoremas da probabilidade 1º) Se ɸ é um conjunto vazio, então: P(ɸ) = 0 Exemplo: A probabilidade de ocorrer face 2 e 3 no lançamento de um dado não viciado é P(ɸ) = 0, enquanto que a probabilidade de ocorrer face 2 ou 3 é 1/6 + 1/6 = 1/3. 2º) Se Ac é o evento complementar do evento A, então: P(Ac)=1 – P (A) Exemplo: Uma urna contém 4 bolas verdes, 3 bolas brancas e 8 bolas amarelas. Uma bola é retirada aleatoriamente. Determinar a probabilidade de que a bola retirada não ser amarela. V = “a bola retirada é verde” P (V) = 4/15 = 26,67% B = “a bola retirada é branca” P (B) = 3/15 = 20,00% A = “a bola retirada é amarela” P (A) = 8/15 = 53,33% Ac= “a bola retirada não é amarela” P (Ac) = 1 – P (A) = 1 – 8/15 = 7/15 = 46,67% 3º) Teorema da Soma Se A e B são dois eventos quaisquer, ou seja, podem ser mutuamente excludentes ou não, então: P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) Exemplo: Ao se retirar uma carta do baralho (com 52 cartas) qual e a probabilidade de se obter uma carta vermelha ou um as? evento A: carta é as. evento B: carta é vermelha. P(AUB) = P(B) + P(A) - P(A∩B) = 26/52 + 4/52- 2/52 = 28/52 = 53,84% 4º) Se A, B e C são eventos quaisquer, ou seja, podem ser mutuamente excludentes ou não, então: P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) 5º) Se A – B é a diferença entre os eventos quaisquer, então: P(A-B)=P(A)-P(A∩B). Trabalho para ser entregue impreterivelmente no dia 22 de agosto (quinta-feira) – 0,5 pts na prova!!!!! Suponha que entrevistamos 100 alunos e perguntamos em quais matérias eles estavam inscritos. Obtivemos os seguintes valores: 47 alunos inscritos em matemática. 31 alunos inscritos em física. 11 alunos inscritos em estatística. 20 alunos inscritos em matemática e física. 7 alunos inscritos em matemática e estatística. 6 alunos inscritos em física e estatística. 5 alunos inscritos em matemática, física e estatística. a) Selecionando um aluno ao acaso, qual e a probabilidade de ele estar inscrito somente em matemática? b) Qual e a probabilidade de ele estar inscrito em matemática ou física? c) Qual e a probabilidade de ele estar inscrito em pelo menos 1 matéria? OBS:. O trabalho só será aceito em folha de papel almaço. Não esqueçam de colocar o nome e a turma. Programação até o fim do semestre Agosto 20/08 (terça-feira) - 22/08 (quinta-feira) - Entrega do trabalho (0,5 pts) 27/08 (terça-feira) - 29/08 (quinta-feira) - Setembro 03/09 (terça-feira) - 05/09 (quinta-feira) - 10/09 (terça-feira) - 12/09 (quinta-feira) - 17/09 (terça-feira) - Prova 2 19/09 (quinta-feira) - 24/09 (terça-feira) - Optativa 26/09 (quinta-feira) – Entrega das notas finais Considere o experimento aleatório E = “um dado honesto é lançado e a face é observada” e os eventos A = “ocorre face 3” e B = “ocorre face ímpar” S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {3} B = {1, 3, 5} Qual a probabilidade do evento A ocorreu? Qual a probabilidade do evento B ocorreu? Qual a probabilidade do evento A ocorrer sabendo que o evento B já ocorreu? Probabilidade Condicional e Independência Sejam A e B dois eventos quaisquer de uma espaço amostral S, com P(B) > 0. A probabilidade de A ocorrer, na hipótese de B já ter ocorrido, denotado por P(A/B), é dada por: No exemplo anterior: E = “um dado honesto é lançado e a face é observada” S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = “ocorre face 3” = {3} B = “ocorre face ímpar” = {1, 3, 5} A ∩ B = {3} Regra do Produto Da probabilidade condicional tem-se: P(A∩B) = P(A/B).P(B) Dois eventos A e B são ditos independentes se a probabilidade de ocorrência de um evento não interfere na probabilidade de ocorrência do outro evento, ou seja: • P(A/B) = P(A) • P(B/A)= P(B) Logo: P (A∩B) = P (B∩A) = P(A).P(B) Exemplo: Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são retiradas, uma a uma sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam não defeituosas? Solução: A = “primeira peça é não defeituosa”=> P (A) = 8/12 B = “segunda peça é não defeituosa” => P(B/A) = 7/11 P(A∩B) = P(A) . P(B/A) = 8/12 . 7/11 = 14/33 = 42,42% Eventos Independentes Sejam A e B dois eventos quaisquer, associados a um experimento aleatório. Dizemos que A e B são independentes se: Se A e B são independentes, temos então que P(A|B) = P(A) pois,