(Professor Docente I - Matemática - 2014 - Banca CEPERJ) Um poliedro convexo possui 12 faces, sendo 4 triangulares, 5 quadrangulares e 3 hexagonais. O número de vértices desse poliedro é igual a:
A) 12 B) 13 C) 15 D) 25 E) 50
Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro. Banca organizadora CEPERJ, 2014.
Para resolver essa questão, vamos utilizar a relação de Euler para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces (F), arestas (A) e vértices (V) por meio da fórmula:
V + F = A + 2
V é o que queremos encontrar
F = 12
No cálculo de A, temos que levar em consideração que este poliedro convexo possui:
- 4 faces triangulares;
- 5 faces quadrangulares; e
- 3 faces hexagonais.
Então a quantidade de arestas deste poliedro será igual a
A = (4 x 3 + 5 x 4 + 3 x 6) /2
Atenção: temos que dividir essa soma por 2, uma vez que as arestas estão sendo contadas duas vezes. Basta pensar no exemplo do cubo, ele tem 6 faces quadradas, então são (6 x 4)/2 = 12 arestas. O cubo tem 12 arestas e não 24. Você pode repetir este teste com uma pirâmide de base quadrada. Recomendamos estes poliedros, pois são fáceis de se fazer uma verificação, caso haja dúvidas. Essa pirâmide tem uma face quadrada na sua base e outras quatro faces triangulares: (1 x 4 + 4 x 3)/2 = 8 arestas.
Continuando o cáclulo de A.
A = (12 + 20 + 18) /2
A = 50/2
A = 25
Finalmente, basta aplicarmos os valores encontrados na relação de Euler para encontrarmos V.
V + F = A + 2
V + 12 = 25 + 2
V = 27 - 12
V = 15
Alternativa correta é a letra c).
Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura.
Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro.
Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?
(FAAP-SP)
Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.
(PUC-MG)
Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares.
(UF-AM)
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?
Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20
As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:
De acordo com a relação de Euler, temos que:
F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32
O poliedro em questão possui 32 faces.
V: vértice
A: arestas
F: faces
F = V – 3
F = 10 – 3
F = 7
O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um.
Faces: 6
Vértices: 8
Arestas: 12
* F + V = A + 2
* A = V + 6
F + V = V + 6 + 2
F + V – V = 8
F = 8
O poliedro possui 8 faces.
P: pentagonais (5 arestas)
T:
triangulares (3 arestas)
F = 3*P + x*T
A = 4*x
Número de arestas:
A = (3*5 + x*3)/2
4x = (15 + 3x) / 2
4x * 2 = 15 + 3x
8x – 3x = 15
5x = 15
x = 15/5
x = 3
O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
Arestas (A) = 22
Faces (F) = Vértices (V)
Pela relação de Euler, temos:
F + V = A + 2
No problema sugerido temos que F = V, portanto:
V + V = 22 +
2
2V = 24
V = 24/2
V = 12
Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.