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a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) nenhum dos anteriores 9) O menor número primo que divide 311 + 512 é: a) 2 b) 3 c) 5 matematicaconcursos.blogspot.com d) 311 + 512 e) nda 10) Determine o maior natural n para o qual existe uma reordenação (a, b, c, d) de (3, 6, 9, 12) (isto é, {a, b, c, d} = {3, 6, 9, 12}) tal que o número n dcba 12963 seja inteiro. Justifique sua resposta. 11) Determine o produto entre o mdc e o mmc de {12, 24, 72, 120, 288} a) 8640 b) 17280 c) 34560 d) 11520 e) nda 12) Determinar a quantidade de pares de números naturais (a, b) que verificam simultaneamente as seguintes duas condições: o máximo divisor comum entre a e b é igual ao produto dos 5 primeiros números naturais; o mínimo múltiplo comum entre a e b é igual ao produto dos 15 primeiros números naturais. Ou seja, mdc (a, b) = 1.2.3.4.5 e mmc (a, b) = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15. 13) Achar o inteiro positivo da forma 2.15m.7n e que admite 36 divisores positivos. 14) Um número natural N que é múltiplo de 83 é tal que N2 possui 63 divisores. Calcular N, sabendo que é o menor número possível que cumpre tais condições. 15) Determine todos os inteiros positivos n que possuem exatamente 16 divisores inteiros positivos d1, d2, …, d16 tais que 1 = d1 < d2 < … < d16 = n, d6 = 18 e d9 – d8 = 17. 16) Determinar todos os números inteiros n tais que (n + 98)/(n + 19) é um número inteiro. 17) Quantas soluções inteiras e positivas possui a equação 2x + 3y = 1997? 18) Assuma que m e n são inteiros tais que 5m + 6n = 100. Então, o maior valor possível de m.n é: a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) nda 19) Determinar o menor inteiro positivo que dividido por 8 e por 15 deixa os restos 6 e 13, respectivamente. 20) Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja divisível por 11. 21) Determinar as duas menores frações positivas que tenham 13 e 17 para denominadores e cuja soma seja igual a 305/221. 22) Demonstrar que, se a e b são inteiros positivos primos entre si, então a equação diofantina ax – by = c tem um número infinito de soluções inteiras e positivas. 23) Um rapaz recebeu R$ 100,00 da sua mãe para comprar alguns itens A, preço R$ 13,00 alguns B, preço R$ 7,00 e outros C, preço R$ 18,00, em um supermercado, mas esqueceu a quantidade exata de cada item, lembrando-se apenas que não haveria troco. Encontre a probabilidade de que acerte o pedido de sua mãe. Encontre o menor inteiro positivo a para o qual a equação 1001x + 770y = 106 + a tem solução inteira. Neste caso, quantas soluções inteiras positivas (x > 0 e y > 0) existem? 24) Uma das soluções inteiras e positivas da equação 19x + 97y = 1997 é, evidentemente, (x0,y0) = (100,1). Além desse, há apenas mais um par de números inteiros e positivos, (x1, y1), satisfazendo a equação. O valor de x1 + y1 é: matematicaconcursos.blogspot.com a) 23 b) 52 c) 54 d) 101 e) 1997 25) Quantos são os pares (x, y) de inteiros positivos que satisfazem a equação 2x + 3y = 101 ? a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 26) Quantos pares de inteiros (n, k) possuem a propriedade que 1 = 3n + 5k? a) 0 b) 7 c) 8 d) 15 e) infinitos 27) Se x e y são inteiros positivos tais que 13x + 4y = 1000, então x + y vale: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 28) Demonstrar que 270 + 370 é divisível por 13. 29) Mostre que 22225555 + 55552222 é divisível por 7. 30) Mostrar que 1110 1 (mod. 100) 31) Determine o dígito das centenas de 21999 + 22000 + 22001. 32) Mostre que o número 1998199819981998 652191020760N é divisível por 1998. 33) Achar os dois últimos algarismos de 999 e de 141414 . 34) Achar o algarismo das unidades de 7355. 35) Calcular o resto da divisão por 8 de 436543 x 793767. 36) Achar o resto da divisão de (1237156 + 34)28 por 111. 37) Determine os três últimos dígitos de 79999. 38) Demostrar que para todo n natural verifica-se: 023 1n62n2 (mod. 11). 39) Prove que 3636 + 4141 é divisível por 77. 40) Prove que 2015 – 1 é divisível por 11.31.61. 41) Prove que: a) 1919 + 6969 é divisível por 44; b) 270 + 370 é divisível por 13. matematicaconcursos.blogspot.com 42) Prove que o número 55k + 1 + 45k + 2 + 35k é divisível por 11, para todo número natural k. 43) Prove que se um inteiro n é primo com 10, a 101a potência de n termina com os mesmo 3 dígitos de n. Por exemplo, 1233101 termina com os dígitos 233, e 37101 termina com os dígitos 037. 44) Prove que 21997.1996 – 1 é divisível por 19972. 45) Prove que 2147 – 1 é divisível por 343. 46) Prove que para todo inteiro n, n30 – n14 – n18 + n2 é divisível por 46410. 47) Mostrar que 2340 1 (mod. 341) 48) Se n é inteiro não divisível por 5, demonstre que ao dividir n4 – 1991 por 5, o resto é zero. 49) Mostrar: a) 561 | (2561 – 2); b) 561 | (3561 – 3). 50) Usando o Teorema de Fermat, achar o algarismo das unidades de 3100. 51) Achar o algarismo das unidades de 7355. 52) Achar o resto quando 314162 é dividido por 163. 53) Mostre que 1981 | (441980 – 441776) 54) Qual é o resto quando 13 + 23 + 33 + 43 + … + 19903 é dividido por 7? 55) Calcule o resto da divisão de 22002 por 101. 56) Determine o resto das divisões de: a) 41234 por 3 b) 20100 por 17 c) 2000.22000 – 1 por 3 57) Entre o resto da divisão de 520 por 26. 58) Mostre que (8355 + 6)18 – 1 é divisível por 112. 59) Encontre os dois últimos dígitos de: a) 71000 b) 22000 c) 5600 + 19200 d) 72000 . 2300 60) Prove que, para todo n natural, 37n + 2 + 16n + 1 + 23n é divisível por 7. matematicaconcursos.blogspot.com Solução de várias questões: 1) Análise inicial: Podemos decompor y3 – x3 da forma: y3 – x3 = (y – x)(y2 + xy + x2) = 91 = 7.13 Como y2 + xy + x2 é uma equação de segundo grau em y, que possui < 0, então y2 + xy + x2 > 0 Assim, podemos ter as seguintes situações: (y – x) (y2 + xy + x2) = 1 91 91 91 1 91 13 7 91 7 13 91 Assim, analisando cada situação: 1) y – x = 1 y2 + xy + x2 = 91 (y – x)2 + 3xy = 91 1 + 3xy = 91 xy = 30 e y = x + 1 x = 5 e y = 6 ou x = – 6 e y = – 5 2) y – x = 91 y2 + xy + x2 = 1 xy = – 2760 e y = x + 91 não existem inteiros x e y 3) y – x = 7 y2 + xy + x2 = 13 xy = – 12 e y = x + 7 x = – 3 e y = 4 ou x = – 4 e y = 3 4) y – x = 13 y2 + xy + x2 = 7 xy = – 53 e y = x + 13 não existem inteiros x e y 2) Inicialmente notemos que fazendo x = 525 temos 1x 1xN 5 = x4 + x3 + x2 + x + 1. Então: N = x4 + x3 + x2 + x + 1 N = (x2 + 3x + 1)2 – 5x(x + 1)2 )]1x(x5)1x3x)][(1x(x5)1x3x[( 22 . Como x = 525 temos: N = [(550 + 3.525 + 1) – 513(525 + 1)][(550 + 3.525 + 1) + 513(525 + 1)], ou seja, N é a multiplicação de dois inteiros maiores que 1, implicando que N é composto. 3) Podemos escrever a equação da seguinte forma: xy – 1996x – 1998y = 1 (x – 1996)(y – 1998) – 1996.1998 = 1 (x – 1996)(x – 1998) = 1 + 1996.1998 (x – 1996)(x – 1998) = 1 + (1997 – 1)(1997 + 1) = 1 + 19972 – 1 (x – 1996)(x – 1998) = 19972 Assim temos as possibilidades: