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que 1 2 · 5 · 12 2 = b · h 2 ⇒ b · h = 30. Utilizando a igualdade encontrada para h anteriormente, temos que b · 12b 5 = 30⇒ b2 = 150 12 ⇒ b = √ 50 4 ⇒ b = 5 √ 2 2 . 6 Outra Solução: Sejam h = CF e x = GH. Logo FE = 12− h. A área do triângulo ABC é igual a 5× 12 2 = 30. Como desejamos que o triângulo GCH e o trapézio AGHB tenham a mesma área, segue que xh 2 = 15 e 5 + x 2 · (12− h) = 15. Assim temos que xh = 30 e 60 + 12x− 5h− xh = 30. Substituindo xh por 30 na última equação temos que 12x− 5h = 0, ou seja, h = 12 5 x. Portanto x 12 5 x = 30, ou seja, x2 = 25 2 e assim x = 5 √ 2 2 . [10] João deseja comprar uma determinada calça. Para isto, decide observar os valores e promoções do produto em duas lojas diferentes. Na loja A a calça custa 140 reais, mas, se comprada à vista, João ganharia 15% de desconto. Na loja B a mesma calça custa 150 reais. Como promoção de aniversário da empresa, a loja B tem uma urna que contém 5 bolas, onde estão escritos os seguintes descontos: 5%, 10%, 15%, 20% e 25%. Ao realizar a compra, o cliente deve sortear desta urna duas bolas com reposição. Após o sorteio, o cliente recebe a soma dos dois descontos sobre o valor da peça adquirida. Qual a probabilidade de João pagar menos, comprando na loja B em vez de comprar na loja A? (A) 64% (B) 76% (C) 80% (D) 88% (E) 95% Solução Resposta: B Realizando a compra da calça na loja A, o preço final será de 119 reais. Para que o custo da mesma calça seja inferior comprando na loja B é preciso que o desconto seja maior que 20%, pois se o desconto for de 20%, então o preço final seria de 120 reais. Sendo o sorteio com reposição, temos um total de 25 possibilidades. Analisando os valores dos descontos e atentos ao fato de que há reposição, temos 6 possibilidades em que o desconto é menor ou igual a 20%: 5% mais 5%, 5% mais 10%, 10% mais 5%, 5% mais 15% e 15% mais 5%. Logo percebemos que 19 possibilidades implicam em um desconto superior a 20%. Portanto a probabilidade é igual a 19 25 = 76%. [11] A figura esquematiza o perfil de uma máquina simples, conhecida como alavanca. O triângulo equilátero CDF do esquema tem lados de medida √ 3 metros, estando o lado CD em contato com o chão horizontal. O segmento AB representa uma haste rı́gida e retilı́nea, de comprimento 6 metros, que gira em torno do ponto fixo F, sendo BF = 2 m. Quando A tocar o chão, a altura de B, em metros, em relação ao chão será (A) 1 (B) 3 2 (C) √ 2 (D) 9 4 (E) 3 √ 2 2 7 Solução Resposta: D A figura abaixo mostra a situação do problema, onde P e Q são, respectivamente, as projeções de F e B sobre o chão horizontal. Como todos os pontos são coplanares, inclusive P e Q, então FP é altura do triângulo equilátero CDF. Sendo ` = √ 3 metros o lado desse triângulo, então: FP = ` · √ 3 2 = √ 3 · √ 3 2 m = 3 2 m. Como AP̂F = AQ̂B = 90◦ e PÂF = QÂB (ângulo comum), então os triângulos AFP e ABQ são semelhantes pelo critério ângulo-ângulo. Disso e sabendo-se que AF = AB− FB = 4 metros, tem-se: BQ FP = AB AF ⇒ BQ3 2 = 6 4 , donde conclui-se que a altura do ponto B em relação ao chão é BQ = 9 4 m. [12] Se x e y são dois números reais tais que 4x2 + 9y2 − 4x + 12y + 5 = 0, então x + y é igual a (A) 5 6 (B) −1 3 (C) 1 2 (D) −1 6 (E) 1 3 Solução Resposta: D Completando os quadrados, a expressão 4x2 + 9y2 − 4x + 12y + 5 = 0 pode ser escrita na forma (2x− 1)2 + (3y + 2)2 = 0 . Assim temos que x = 1 2 e y = −2 3 . Portanto x + y = 1 2 − 2 3 = −1 6 . [13] A seguinte figura mostra um cubo. O número de triângulos equiláteros que podem ser formados cujos vértices coincidam com os do cubo é: (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12 (E) 24 Solução Resposta: C Os vértices do cubo podem ser ligados de três maneiras: por uma aresta do cubo, por uma diagonal da face, por uma diagonal interna do cubo. Dessas três, a única maneira de formarmos um triângulo equilátero é com as diagonais das faces. Note que de cada vértice é possı́vel formar três triângulos distintos, por exemplo, com o vértice A formamos os triângulos ACP, ACR e APR. Sendo assim, com os 8 vértices do cubo teremos um total de 24 triângulos equiláteros. No entanto cada um dos triângulos foi contado três vezes, por cada vértice de cada triângulo, logo teremos 8 triângulos equiláteros distintos. 8 [14] Na figura abaixo, tem-se um quadrado e um triângulo equilátero, coplanares. Qual o seno do ângulo destacado? (A) 1 2 (B) √ 2 (√ 3 + 1 ) 4 (C) √ 2 (√ 3− 1 ) 4 (D) √ 2 6 (E) √ 2− 1 2 Solução Resposta: C Seja ` a medida do lado do quadrado e α a medida do ângulo cujo seno queremos obter. Na figura acima, como EF é paralelo aos lados verticais do quadrado, temos que BÊF = α. Além disso, AM é metade da diagonal do quadrado, logo AM = ` √ 2 2 . O lado do triângulo equilátero terá medida igual à da diagonal do quadrado, ou seja ` √ 2. Com isso, a altura EM deste triângulo terá medida EM = ( ` √ 2 ) √3 2 = ` √ 6 2 . Assim, AE = ` √ 2 2 + ` √ 6 2 = ` (√ 2 + √ 6 ) 2 = ` √ 2 ( 1 + √ 3 ) 2 . Como FÂE = 45◦, temos AF = AE · cos 45◦ = ` √ 2 ( 1 + √ 3 ) 2 · √ 2 2 = ` ( 1 + √ 3 ) 2 . Logo BF = AF− AB = ` ( 1 + √ 3 ) 2 − ` = ` (√ 3− 1 ) 2 . Com isso, sen α = BF BE = `( √ 3− 1) 2 ` √ 2 = √ 3− 1 2 √ 2 = √ 2 (√ 3− 1 ) 4 . Outra solução: O ângulo α cujo seno queremos é a diferença entre um ângulo interno do triângulo equilátero (60◦) e o ângulo entre o lado do quadrado e sua diagonal (90◦/2 = 45◦). Assim, sen α = sen (60◦ − 45◦) = sen (60◦) cos (45◦)− sen (45◦) cos (60◦) = √ 3 2 · √ 2 2 − √ 2 2 · 1 2 = √ 6 4 − √ 2 4 = √ 2 (√ 3− 1 ) 4 . 9 [15] No triângulo ABC da figura abaixo, AB̂C = EÂC, AĈB = DÂB, BD = 2 e CE = 3. Com base nas informações acima, podemos afirmar que a razão AB AC é igual a (A) √ 2 3 (B) √ 3 2 (C) 2 3 (D) 3 2 (E) 4 9 Solução Resposta: A Denotando BC = a, AB = c e AC = b, queremos determinar c b . Pelos ângulos conhecidos, podemos afirmar que os triângulos ABC e DBA são semelhantes e assim c a = 2 c , ou seja, c2 = 2a. Podemos também afirmar que os triângulos ABC e EAC são semelhantes, logo b a = 3 b , ou seja, b2 = 3a. Com isso, c2 b2 = 2a 3a = 2 3 , portanto c b = √ 2 3 . [16] As ternas abaixo são medidas dos comprimentos dos lados de triângulos. Em qual das alternativas temos, nessa ordem, as medidas de um triângulo acutângulo, de um triângulo retângulo e de um triângulo obtusângulo? (A) (2, 3, 4), (3, 4, 5) e (4, 7, 8). (B) (4, 7, 8), (5, 12, 13) e (4, 8, 9). (C) (6, 7, 9), (4, 5, 6) e (4, 8, 9). (D) (8, 9, 11), (3, 4, 5) e (4, 6, 7). (E) (8, 10, 13), (6, 8, 10) e (4, 5, 7). Solução Resposta: B Vamos analisar algumas ternas que aparecem nas respostas e comparar o quadrado do maior lado com a soma dos quadra- dos dos dois lados menores. Se o quadrado do lado maior for maior, o triângulo é obtusângulo; se for igual ele é retângulo; se for menor, é acutângulo. 10 (4, 7, 8): 82 = 64 < 65 = 49 + 16 = 72 + 42, assim temos um triângulo acutângulo e o item (A) está incorreto. (4, 5, 6): 62 = 36 < 41 = 16 + 25 = 42 + 52, assim temos um triângulo acutângulo e o item (C) está errado. (5, 12, 13): 132 = 169 = 144 + 25 = 122 + 52, assim temos um triângulo retângulo. (4, 8, 9): 92 = 81 > 80 = 64 + 16 = 82 + 42, assim temos um triângulo obtusângulo. Juntando os dois cálculos acima, segue que o item (B) está correto. (4, 6, 7): 72 = 49 < 52 = 36 + 16 = 62 + 42, assim temos um triângulo acutângulo e o item (D) está incorreto. (8, 10, 13): 132 = 169 > 164 = 100 + 64 = 102 + 82, assim temos um triângulo obtusângulo e o item (E) está incorreto. [17] Um jogo é disputado em uma malha de 16 pontos, conforme a figura da esquerda abaixo. O jogador A inicia no ponto P e deve chegar ao ponto Q, podendo se deslocar apenas ao longo das retas que unem os pontos e atingir