Quantas senhas de 3 dígitos diferentes são possíveis utilizando os números de 0 a 9?

Aprova com o Sagrado - Matemática – Professor Renato Costa - Análise Combinatória

Você esqueceu a senha de 4 dígitos do seu celular e quer tentar combinações aleatórias para desbloquear o aparelho. Considerando os números de 0 a 9, quantas possibilidades de senha existem? É para fazer cálculos assim que existe a análise combinatória, mas professores alertam que há uma pegadinha na fórmula para chegar ao resultado.

A pegadinha é, na verdade, a própria fórmula, que consiste em três cálculos diferentes usados para contabilizar possibilidades distintas, conforme explica Fernando Santo, gerente de Inteligência Educacional e Avaliações do Sistema Poliedro.

"A análise combinatória pode ser um arranjo ou combinação, e o arranjo pode ser simples ou completo. Cada uma dessas tem seu próprio cálculo e cada cálculo tem um objetivo diferente. Apesar de serem de aplicações e cálculos simplificados, uma leitura cuidadosa do enunciado da questão poderá eliminar a dúvida de qual mecanismo de resolução utilizar", explica.

No caso do exemplo da senha do celular, é possível chegar a duas respostas dependendo do cálculo feito: 10 mil ou 5.040 possibilidades de senha. Isso porque vai depender se você tiver repetido algum número na senha ou não.

LEIA TAMBÉM

• Cálculo de velocidade média: qual a pegadinha da fórmula?

Considerando do 0 ao 9 no teclado numérico e a quantidade de dígitos (4) que se pode usar na senha do celular, veja a seguir os dois cálculos possíveis:

• 1 - No cálculo de arranjo completo, os números podem se repetir, então, a cada dígito da senha, existem 10 opções válidas. Multiplicando as opções, descobrimos que há 10 mil possibilidades de combinações.

• 2 - No cálculo de arranjo simples, os números não podem se repetir. Portanto, a cada dígito da senha, há uma opção a menos. Ao fim da multiplicação, encontramos 5.040 possiblidades.

Saiba qual cálculo utilizar

Para o professor Santo, decorar as fórmulas não é o mais importante nos cálculos de análise combinatória. "É mais importante entender os conceitos envolvidos, pois, quando o estudante domina esses conhecimentos, o uso da fórmula passa a ser secundário na resolução do exercício", diz.

Segundo o professor, questões de vestibulares sempre sinalizam, mesmo que subjetivamente, que tipo de cálculo fazer. Mas há um macete para saber qual fórmula utilizar. É só responder às seguintes perguntas:

• os números podem se repetir? (Exemplo: o 4 pode ser usado mais de uma vez nesta senha?)
• a ordem dos números importa? (Exemplo: o 4 precisa ser o primeiro dígito da senha?)

Se a resposta for:

• sim para as duas perguntas: é um arranjo completo
• não para a primeira e sim a segunda: é um arranjo simples
• não para as duas perguntas: é uma combinação simples

Além disso, o coordenador de Relações Interinstitucionais do Instituto Singularidades, Valdir Silva, dá outra dica. "Na linguagem matemática, 'distintos' significa que o número pode se repetir. Portanto, quando o enunciado apresentar esse termo, quer dizer que é um arranjo completo."

Combinação simples

Além dos dois arranjos acima, outra possibilidade de análise combinatória é a combinação simples. Esse tipo de cálculo não pode ser feito no exemplo da senha do celular porque ele não considera a repetição de números ou a ordem deles.

Para entender como funciona a combinação simples, considere a seguinte situação: Um cliente quer comprar 4 capas protetoras para seu aparelho celular e vai a uma loja que oferece 10 estampas diferentes. Quantas possibilidades diferentes o cliente possui para realizar a sua compra?

Aqui, a ordem não importa e as opções não se repetem, já que são diferentes. Sendo assim:

Mas há uma dica extra, caso surja a dúvida: "em geral, o arranjo completo fornece resultados maiores que o arranjo simples e este, por sua vez, maiores que combinação simples. Ter essa noção pode ajudar, por exemplo, quando os números ficam muitos abstratos para a situação apresentada no exercício", explica o professor Santo.