O polígono nada mais é do que uma figura fechada (conectada de ponta a ponta) composta por mais de 2 segmentos de linha em um plano bidimensional. A palavra polígono composta de 2 palavras, primeiro Poly significa “muitos” e gons significa “lados”. Polígono significa nada além de uma forma com muitos lados. Ou em outras palavras, o polígono é criado usando segmentos de linha reta que estão conectados de ponta a ponta, e esses segmentos de linha são conhecidos como lados do polígono e o ponto é conhecido como vértice do polígono. Se uma forma não contém lados e ângulos, então eles não são um círculo semelhante a um polígono. Alguns dos polígonos são:
Propriedades do polígono:
- A medida de cada ângulo externo de um polígono regular de n lados será 360 ° / n.
- A medida de cada ângulo interno de polígono regular de n lados será [(n - 2) × 180 °] / n.
- O número de triângulos formados pela união das diagonais de um canto de um polígono será n - 2.
- O número de diagonais em um polígono com n lados será n (n - 3) / 2.
- A soma de todos os ângulos internos de um polígono de n lados será (n - 2) × 180 °.
Terminologia:
1. Diagonais: Um segmento de linha que une dois vértices não consecutivos de um polígono é conhecido como diagonal. Por exemplo, na figura fornecida, AC e BD são as duas diagonais do quadrado ABCD.
2. Lados Adjacentes: Em um polígono, se dois lados compartilham um vértice comum , esse tipo de lado é conhecido como lados adjacentes. Por exemplo, na figura acima, AD e DC são os lados adjacentes.
3. Vértice Adjacente: Em um polígono, se dois pontos finais ou vértices do mesmo lado, esse tipo de vértice é conhecido como vértice adjacente. Por exemplo, no vértice da figura acima, A e B são os vértices adjacentes do lado AB.
Tipos de polígonos:
Existem 4 tipos de polígono:
- Polígono regular: Se todos os lados e ângulos internos do polígono forem iguais ou se um polígono for equiangular e equilátero, o polígono será conhecido como polígono regular. Exemplo de quadrado, losango, triângulo equilátero, etc.
- Polígono irregular: Se todos os lados e ângulos internos do polígono forem de medidas diferentes, o polígono será conhecido como polígono irregular. Exemplo de triângulo escaleno, retângulo e pipa, etc.
- Polígono convexo: se todos os ângulos internos de um polígono forem estritamente menores que 180 ° ou se um segmento de linha entre dois pontos no limite não sair do polígono, o polígono será conhecido como polígono convexo.
- Polígono côncavo: se um ou mais ângulos internos de um polígono tiverem mais de 180 graus ou um polígono contiver pelo menos um ângulo interno reflexo, o polígono será conhecido como polígono côncavo. Este polígono pode ter pelo menos quatro lados.
Ângulos do polígono:
Existem dois tipos de ângulos em polígonos:
- Ângulo interno : é um ângulo de dentro de uma forma, ou podemos dizer que a forma de ângulo dentro de um polígono e a soma dos ângulos internos do polígono é
Soma do ângulo interno = (n - 2) x 180,
Aqui, n é o número total de lados de um polígono
ou
Ângulo interno = 180 ° - Ângulo externo,
ou em radiano,
Soma dos ângulos internos = = (n - 2) π radianos.
Por exemplo:
- Ângulo Exterior: É um ângulo formado por um lado e uma extensão de um lado adjacente e a soma dos ângulos externos de um polígono é igual a 360 o . A soma dos ângulos externos do polígono é
Ângulo Exterior = 180 ° - Ângulo Interior
Se um polígono tem n lados, então
A soma de todos os ângulos externos = nx 180 ° - soma de todos os ângulos internos
Pontos importantes:
- Em cada polígono, a adição de ângulos externos será sempre 360 °.
- Para um polígono regular, o tamanho de cada ângulo externo = 360 ° ÷ número de lados.
- Para um polígono regular, o número de lados = 360 ° ÷ tamanho do ângulo externo.
Por exemplo :
Classificação de polígonos
Os polígonos são classificados com base no número de lados ou vértices que possuem. Então, alguns dos polígonos são:
Triângulo | 3 | 0 | 3 | 60 |
Quadrilátero | 4 | 2 | 4 | 90 |
Pentágono | 5 | 5 | 5 | 108 |
Hexágono | 6 | 9 | 6 | 120 |
Heptágono | 7 | 14 | 7 | 128.571 |
Octógono | 8 | 20 | 8 | 135 |
Nonagon | 9 | 27 | 9 | 140 |
Decágono | 10 | 35 | 10 | 144 |
Hendecágono | 11 | 44 | 11 | 147,273 |
Dodecágono | 12 | 54 | 12 | 150 |
Triskaidecagon | 13 | 65 | 13 | 158,308 |
Tetrakaidecagon | 14 | 77 | 14 | 154,286 |
Pentadecágono | 15 | 90 | 15 | 156 |
Triângulos (3-gon)
Um triângulo é um polígono, i t é formado com a ajuda de segmentos de três linhas que se intersectam uns aos outros, de modo que um triângulo tem 3 vértices 3, arestas , e 3 ângulos. Os triângulos são classificados em diferentes tipos, com base nos lados e ângulos.
Algumas propriedades do triângulo:
- Área do triângulo: 1/2 × base × altura
- Em um triângulo, a soma de todos os ângulos internos de um triângulo é 180 o .
- O lado oposto ao maior ângulo é o maior lado do triângulo.
- O perímetro de um triângulo é igual à soma dos comprimentos de todos os três lados do triângulo.
Com base nos lados:
- Triângulo Equilátero: for um triângulo com todos os lados iguais e ângulos de igual medida, esses tipos de triângulos são conhecidos como triângulo equilátero.
- Triângulo isósceles: se qualquer triângulo com 2 lados iguais e ângulos opostos aos lados iguais forem iguais, esses tipos de triângulos são conhecidos como triângulos isósceles.
- Triângulo escaleno : se for um triângulo com todos os 3 lados desiguais, esses tipos de triângulos são conhecidos como triângulo escaleno.
Com base no ângulo:
- Triângulo em ângulo agudo: um triângulo com cada ângulo menor que 90 °, então esse tipo de triângulo é conhecido como triângulo de ângulo agudo.
- Triângulo retângulo: Se qualquer um dos três ângulos do triângulo for igual a 90 °, esse tipo de triângulo é conhecido como triângulo retângulo.
- Triângulo obtuso angular: Se qualquer ângulo de um triângulo for maior que 90 °, esse tipo de triângulo é conhecido como triângulo de ângulo obtuso.
Quadriláteros (4-gon)
Um quadrilátero nada mais é que um polígono com pelo menos 4 lados. Um polígono é formado fechando quatro segmentos de linha de forma que eles se encontrem em vértices para formar 4 ou mais ângulos. Exemplo: quadrado, retângulo, paralelogramo, losango, trapézio.
Algumas propriedades de um quadrilátero:
- Tem quatro lados.
- Possui quatro vértices.
- Em um quadrilátero, a soma de todos os ângulos internos é 360 o .
Problemas de amostra
Questão 1. Encontre o ângulo externo de um hexágono regular?
Solução:
Como sabemos, o hexágono tem 6 lados, portanto
Ângulo externo = 360 o / n = 360 o / 6
Ângulo Exterior = 60 o
Questão 2. Encontre o ângulo interno de um pentágono regular?
Solução:
Como sabemos, esse pentágono tem 5 lados, portanto
Ângulo externo = 360 o / 5 = 72 o
Ângulo interno = 180 o - 72 o = 108 o
Questão 3. Encontre cada ângulo interno de um decágono regular.
Solução :
Como sabemos, o decágono tem dez lados.
Usando a fórmula da soma angular,
Como sabemos disso,
S = (n - 2) × 180 °
Aqui, n = 10
Portanto,
Soma dos ângulos do decágono = (10 - 2) × 180 °
= 8 × 180 ° = 1440 °
Como sabemos que todos os ângulos internos são iguais a um decágono regular,
Portanto, a medida de cada ângulo interno do decágono regular = soma dos ângulos internos / número de lados
Ângulo interno = 1440/10 = 144 °
Portanto, a Soma do Ângulo Interior do decágono é 1440 ° e cada ângulo interno é 144 °.
Questão 4. Encontre o valor de x na figura fornecida:
Solução:
Como sabemos que a soma dos ângulos de um quadrilátero = 360 o
então, 55 o + 124 o + 70 o + x = 360 o
249 o + x = 360 o
x = 111 o
Questão 5. Encontre o valor de x na figura fornecida:
Solução:
Como sabemos que a soma dos ângulos externos = 360 o
Então, 120 o + 125 + x = 360 o
245 o + x = 360 o
x = 360 o - 245 o
x = 115 o