3Ângulo interno em polígonos regulares
Em um polígono regular de $n$ lados, como todos os ângulos internos são congruentes, podemos calcular cada um deles através da expressão:
$$a_i = \dfrac{S_i}{n}$$
3.1
Exemplo: ângulos internos de um hexágono regular
Iremos calcular a medida dos ângulos internos de um hexágono regular.
Ele é o polígono com $6$ lados, portanto $n = 6$. Primeiro iremos calcular a soma de todos os ângulos internos:
\begin{align}
S_i &= (n-2) \cdot 180 \\
&= (6- 2) \cdot 180 \\
&= 4 \cdot 180 \\
&= 720^{\circ}
\end{align}
Como todos os $6$ ângulos devem ter a mesma medida, basta dividir esta soma por $6$.
$$a_i = \dfrac{S_i}{n} = \dfrac{720}{6} = 120^{\circ}$$
Portanto todos os ângulos internos do hexágono regular possuem $120^{\circ}$.
3.2
Exemplo: determinar o número de lados
Neste exemplo iremos descobrir quantos lados um polígono regular possui se o ângulo interno dele mede $150^{\circ}$.
Lembrando que o ângulo interno pode ser calculado com a fórmula:
$$a_i = \dfrac{S_i}{n},$$
sendo que $S_i = (n-2) \cdot 180$.
Então vamos substituir $a_i$ por $150^{\circ}$ e resolver a equação que é criada; o primeiro passo é multiplicar em cruz:
\begin{align}
150 &= \dfrac{(n- 2) 180}{n} \\
150n &= (n- 2)180 \\
150n &= 180n- 360 \\
150n- 180n &= 360 \\
30n &= 360 \\
n &= \dfrac{360}{30} \\
n &= 12
\end{align}
Então, se os ângulos internos de um polígono regular medem $150^{\circ}$, ele tem $12$ lados (dodecágono).
3.3
Ângulo interno de quadrilátero
Num trapézio, cada ângulo excede o precedente em $20^{o}$. Calcule as medidas dos ângulos dos trapézios.
Usando a fórmula de Soma dos ângulos internos de um polígono regular,
\begin{align}
S_{i} &= (n – 2) \cdot 180^{o}
\end{align}
E dado que o trapézio possui os seguintes ângulos $x$, $x + 20$, $x + 40$, $x + 60$, podemos escrever:
\begin{align}
x + x + 20 + x + 40 + x + 60 &= (n – 2) \cdot 180^{o} \\
4x + 120 &= (4 – 2) \cdot 180
\\
4x + 120 &= 360 \\
4x &= 240 \\
x &= \large \frac{240}{4} \\
x &= 60
\end{align}
Portanto, os ângulos dos trapézios são $60^{o}$, $80^{o}$, $100^{o}$, $120^{o}$.
Entre os elementos de um polígono, estão os lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos. Quando o polígono é convexo, também podemos pensar nas suas diagonais e criar propriedades como a soma de seus ângulos internos e a soma de seus ângulos externos. Essa última propriedade deve sempre ser igual a 360°, em todo polígono convexo. Isso é resultado da definição dos ângulos externos, aliada a algumas propriedades envolvendo ângulos que serão discutidas mais adiante.
A soma dos ângulos internos varia de polígono a polígono, dependendo de seu número de lados. Assim, desde que convexos, os polígonos:
a) Que possuem três lados têm soma dos ângulos internos igual a 180°;
b) Que possuem quatro lados têm a soma dos ângulos internos igual a 360°;
c) Que possuem n lados têm a soma dos ângulos internos igual a (n – 2)180.
Definição de ângulo externo
Um ângulo externo é a abertura entre o prolongamento de um lado de um polígono e o lado adjacente a ele. Observe, por exemplo, os ângulos externos da figura a seguir:
Os ângulos assinalados com as letras gregas α, β, γ, δ e ε são externos, pois representam justamente a abertura entre um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente a ele.
Propriedades relacionando ângulos externos e ângulos internos
Perceba que sempre existe um ângulo interno que compartilha um lado de um polígono com um ângulo externo. Observe também que esses dois ângulos estão sempre sobre a mesma reta, já que o ângulo externo depende do prolongamento do lado do polígono. Dessa forma, garantimos que a soma de um ângulo interno com o ângulo externo adjacente a ele é igual a 180°. Em outras palavras:
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Um ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele sempre são suplementares.
No pentágono regular acima, temos um ângulo interno e um externo. Como o pentágono é regular, cada um de seus ângulos internos mede 108°. Assim sendo, cada um de seus ângulos externos medirá 72°.
Observe que existem exatos cinco ângulos externos nesse polígono, e que todos medem 72° porque o polígono é regular.
5·72 = 360°
Demonstração
Independentemente de qual seja o polígono convexo e sua quantidade de lados, ou do fato de todos os lados possuírem medidas diferentes, cada ângulo interno (Si), somado ao seu ângulo externo adjacente (Ai), deve ter como resultado 180°:
Si + Ai = 180°
Seja S a soma de todos os ângulos internos e A a soma de todos os ângulos externos, em um polígono de n lados, temos também n ângulos internos e n ângulos externos. Assim:
S + A = 180·n
A soma dos ângulos internos nós já conhecemos, pois ela é obtida pela expressão: S = (n – 2)180. Substituindo S por essa expressão na equação anterior, temos:
S + A = 180n
(n – 2)180 + A = 180n
180n – 360 + A = 180n
Como queremos descobrir a soma dos ângulos externos de um polígono, isolaremos a incógnita A no primeiro membro:
180n – 360 + A = 180n
A = 180n + 360 – 180n
A = 360°
Portanto, fica demonstrado que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°.