Qual e a ordem correta no procedimento para elaboração de uma distribuição de frequência?

RESUMO

ESTAT�STICA B�SICA

Conte�do

1.    Introdu��o��������������������������������������������������������������������������������������������� pag. 02

2.    Organiza��o de Dados Estat�sticos����������������������������������������� pag. 03

3. Medidas de Posi��o������������������������������������������������������������������ pag. 14

4. Medidas de Dispers�o��������������������������������������������������������������� pag. 27

5. Medidas de Assimetria e Curtose������������������������������������������������������ pag. 32

Alexandre Jos� Granzotto���������������������������� Julho a Outubro / 2002

RESUM�O� -� ESTAT�STICA B�SICA

1.�� INTRODU��O

ESTAT�STICA: ����� ramo da matem�tica aplicada.

ANTIGUIDADE: ���� os povos j� registravam o n�mero de habitantes, nascimentos, �bitos. Faziam "estat�sticas".

IDADE M�DIA: ������ as informa��es eram tabuladas com finalidades tribut�rias e b�licas.

SEC. XVI:����� surgem as primeiras an�lises sistem�ticas, as primeiras tabelas e os n�meros relativos.

SEC. XVIII: � a estat�stica com fei��o cient�fica � batizada por GODOFREDO ACHENWALL. As tabelas ficam mais completas, surgem as primeiras representa��es gr�ficas e os c�lculos de probabilidades. A estat�stica deixa de ser uma simples tabula��o de dados num�ricos para se tornar "O estudo de como se chegar a conclus�o sobre uma popula��o, partindo da observa��o de partes dessa popula��o (amostra)".

M�TODO ESTAT�STICO

M�TODO: ��� � um meio mais eficaz para atingir determinada meta.

M�TODOS CIENT�FICOS:��������� destacamos o m�todo experimental e o m�todo estat�stico.

M�TODO EXPERIMENTAL:������ consiste em manter constante todas as causas, menos uma, que� sofre varia��o para se observar seus efeitos, caso existam.�� Ex: Estudos da Qu�mica, F�sica, etc.

M�TODO ESTAT�STICO:����������� diante da impossibilidade de manter as causas constantes (nas ci�ncias sociais), admitem todas essas causas presentes variando-as, registrando essas varia��es e procurando determinar, no resultado final, que influ�ncias cabem a cada uma delas.�� Ex: Quais as causas que definem o pre�o de uma mercadoria quando a sua oferta diminui?

�         Seria imposs�vel, no momento da pesquisa, manter constantes a uniformidade dos sal�rios, o gosto dos consumidores, n�vel geral de pre�os de outros produtos, etc.

A ESTAT�STICA

�������� � uma parte da matem�tica aplicada que fornece m�todos para coleta, organiza��o, descri��o, an�lise e interpreta��o de dados e para a utiliza��o dos mesmos na tomada de decis�es.

�������� A coleta, a organiza��o ,a descri��o dos dados, o c�lculo e a interpreta��o de coeficientes pertencem � ESTAT�STICA DESCRITIVA, enquanto a an�lise e a interpreta��o dos dados, associado a uma margem de incerteza, ficam a cargo da ESTAT�STICA INDUTIVA ou INFERENCIAL, tamb�m chamada como a medida da incerteza ou m�todos que se fundamentam na teoria da probabilidade.

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2.� ORGANIZA��O DE DADOS ESTAT�STICOS

FASES DO M�TODO ESTAT�STICO

1� - DEFINI��O DO PROBLEMA : ������� Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar � o mesmo que definir corretamente o problema.

2� - PLANEJAMENTO :���� Como levantar informa��es ? Que dados dever�o ser obtidos ? Qual levantamento a ser utilizado? Censit�rio?� Por amostragem? E o cronograma de atividades ? Os custos envolvidos ? etc.

3� - COLETA DE DADOS: ���������� Fase operacional. � o registro sistem�tico de dados, com um objetivo determinado.

Dados prim�rios: ��� quando s�o publicados pela pr�pria pessoa ou organiza��o que os haja recolhido.� Ex:� tabelas do censo demogr�fico do IBGE.

Dados secund�rios: ������� quando s�o publicados por outra organiza��o. Ex: quando determinado jornal publica estat�sticas referentes ao censo demogr�fico extra�das do IBGE.

OBS: ������������ � mais seguro trabalhar com fontes prim�rias. O uso da fonte secund�ria traz o grande risco de erros de transcri��o.

Coleta Direta: �������� quando � obtida diretamente da fonte. Ex: Empresa que realiza uma pesquisa para saber a prefer�ncia dos consumidores pela sua marca.

coletacont�nua:���� registros de nascimento, �bitos, casamentos;

coleta peri�dica:��� recenseamento demogr�fico, censo industrial;

coleta ocasional:�� registro de casos de dengue.

Coleta Indireta:������ �feita por dedu��es a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, por analogia, por avalia��o,ind�cios ou proporcionaliza��o.

4� - APURA��O DOS DADOS: ������������������������ Resumo dos dados atrav�s de sua contagem e agrupamento. � a condensa��o e tabula��o de dados.

5� - APRESENTA��O DOS DADOS: � H� duas formas de apresenta��o, que n�o se excluem mutuamente. A apresenta��o tabular, ou seja � uma apresenta��o num�rica dos dados em linhas e colunas distribu�das de modo ordenado, segundo regras pr�ticas fixadas pelo Conselho Nacional de Estat�stica. A apresenta��o gr�fica dos dados num�ricos constitui uma apresenta��o geom�trica permitindo uma vis�o r�pida e clara do fen�meno.

6� - AN�LISE E INTERPRETA��O DOS DADOS: �� A �ltima fase do trabalho estat�stico � a mais importante e delicada. Est� ligada essencialmente ao c�lculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade principal � descrever o fen�meno (estat�stica descritiva).

DEFINI��ES B�SICAS DA ESTAT�STICA

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FEN�MENO ESTAT�STICO: ����� � qualquer evento que se pretenda analisar, cujo estudo seja poss�vel a aplica��o do m�todo estat�stico. S�o divididos em tr�s grupos:

Fen�menos de massa ou coletivo:����� s�o aqueles que n�o podem ser definidos por uma simples observa��o. A estat�stica dedica-se ao estudo desses fen�menos. Ex: A natalidade na Grande Vit�ria, O pre�o m�dio da cerveja no Esp�rito Santo, etc.

Fen�menos individuais:�� ��������� s�o aqueles que ir�o compor os fen�menos de massa.�� Ex: cada nascimento na Grande Vit�ria, cada pre�o de cerveja no Esp�rito Santo, etc.

Fen�menos de multid�o:����������� quando as caracter�sticas observadas para a massa n�o se verificam para o particular.

DADO ESTAT�STICO: ���� � um dado num�rico e � considerado a mat�ria-prima sobre a qual iremos aplicar os m�todos estat�sticos.

POPULA��O: ������� � o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma caracter�stica comum.

AMOSTRA: �� �� uma parcela representativa da popula��o que � examinada com o prop�sito de tirarmos conclus�es sobre a essa popula��o.

PAR�METROS: ���� S�o valores singulares que existem na popula��o e que servem para caracteriz�-la. Para definirmos um par�metro devemos examinar toda a popula��o.� Ex: Os alunos do 2� ano da FACEV t�m em m�dia 1,70 metros de estatura.

ESTIMATIVA:��������� � um valor aproximado do par�metro e � calculado com o uso da amostra.

ATRIBUTO: � �quando os dados estat�sticos apresentam um car�ter qualitativo, o levantamento e os estudos necess�rios ao tratamento desses dados s�o designados genericamente de estat�stica de atributo.

VARI�VEL: ������������ � o conjunto de resultados poss�veis de um fen�meno.

VARI�VEL QUALITATIVA: �������� Quando seu valores s�o expressos por atributos: sexo, cor da pele,etc.

VARI�VEL QUANTITATIVA: ���� Quando os dados s�o de car�ter nitidamente quantitativo, e o conjunto dos resultados possui uma estrutura num�rica, trata-se portanto da estat�stica de vari�vel e se dividem em :

VARI�VEL DISCRETA OU DESCONT�NUA:Seus valores s�o expressos geralmente atrav�s de n�meros inteiros n�o negativos.� Resulta normalmente de contagens.� Ex:� N� de alunos presentes �s aulas de introdu��o � estat�stica econ�mica no 1� semestre de 1997: mar = 18 , abr = 30 , mai = 35 , jun = 36.

VARI�VEL CONT�NUA: � Resulta normalmente de uma mensura��o, e a escala num�rica de seus poss�veis valores corresponde ao conjunto R dos n�meros Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites. Ex.: Quando voc� vai medir a temperatura de seu corpo com um term�metro de merc�rio o que ocorre � o seguinte: O filete de merc�rio, ao dilatar-se, passar� por todas as temperaturas intermedi�rias at� chegar na temperatura atual do seu corpo.

Exemplos -

. Cor dos olhos das alunas:�������������������������������������������������������� qualitativa

. �ndice de liquidez nas ind�strias capixabas:������������������������ quantitativa cont�nua

. Produ��o de caf� no Brasil: ���������������������������������������������������� quantitativa cont�nua

. N�mero de defeitos em aparelhos de TV: ����������������������������� quantitativa discreta

. Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa: ��� quantitativa cont�nua

. O ponto obtido em cada jogada de um dado: ����������������������� quantitativa discreta

AMOSTRAGEM

M�TODOS PROBABIL�STICOS

�������� Exige que cada elemento da popula��o possua determinada probabilidade de ser selecionado. Normalmente possuem a mesma probabilidade.� Assim, se N for o tamanho da popula��o, a probabilidade de cada elemento ser selecionado ser� 1/N.� Trata-se do m�todo que garante cientificamente a aplica��o das t�cnicas estat�sticas de infer�ncias.� Somente com base em amostragens probabil�sticas � que se podem realizar infer�ncias ou indu��es sobre a popula��o a partir do conhecimento da amostra.

�  � uma t�cnica especial para recolher amostras, que garantem, tanto quanto poss�vel, o acaso na escolha.

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AMOSTRAGEM CASUAL ou �ALEAT�RIA SIMPLES

�������� � o processo mais elementar e freq�entemente utilizado. � equivalente a um sorteio lot�rico.� Pode ser realizada numerando-se a popula��o de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleat�rio qualquer, x n�meros dessa seq��ncia, os quais corresponder�o aos elementos pertencentes � amostra.

Ex:����� Vamos obter uma amostra, de 10%, representativa para a pesquisa da estatura de 90 alunos de uma escola:

1� - numeramos os alunos de 1 a 90.

2� - escrevemos os n�meros dos alunos, de 1 a 90, em peda�os iguais de papel, colocamos na urna e ap�s mistura retiramos, um a um, nove n�meros que formar�o a amostra.

OBS: quando o n�mero de elementos da amostra � muito grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso. Neste caso utiliza-se uma Tabela de n�meros aleat�rios, constru�da de modo que os algarismos de 0 a 9 s�o distribu�dos ao acaso nas linhas e colunas.

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.AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA:

�������� Quando a popula��o se divide em estratos (sub-popula��es), conv�m que o sorteio dos elementos da amostra leve em considera��o tais estratos, da� obtemos os elementos da amostra proporcional ao n�mero de elementos desses estratos.

Ex:� Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10%, do exemplo anterior, supondo, que, dos 90 alunos, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas. S�o portanto dois estratos (sexo masculino e sexo feminino). Logo, temos:

Numeramos ent�o os alunos de 01 a 90, sendo 01 a 54 meninos e 55 a 90, meninas e procedemos o sorteio casual com urna ou tabela de n�meros aleat�rios.

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AMOSTRAGEM SISTEM�TICA:

�������� Quando os elementos da popula��o j� se acham ordenados, n�o h� necessidade de construir o sistema de refer�ncia. S�o exemplos os prontu�rios m�dicos de um hospital, os pr�dios de uma rua, etc. Nestes casos, a sele��o dos elementos que constituir�o a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador.

Ex: Suponhamos uma rua com 900 casas, das quais desejamos obter uma amostra formada por 50 casas para uma pesquisa de opini�o. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento:� como 900/50 = 18, escolhemos por sorteio casual um n�mero de 01 a 18, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, suponhamos que o n�mero sorteado fosse 4 a amostra seria: 4� casa, 22� casa, 40� casa, 58� casa, 76� casa, etc.

AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS (ou AGRUPAMENTOS)

�������� Algumas popula��es n�o permitem, ou tornam extremamente dif�cil que se identifiquem seus elementos. N�o obstante isso, pode ser relativamente f�cil identificar alguns subgrupos da popula��o.� Em tais casos, uma amostra aleat�ria simples desses subgrupos (conglomerados) pode se colhida, e uma contagem completa deve ser feita para o conglomerado sorteado. Agrupamentos t�picos s�o quarteir�es, fam�lias, organiza��es, ag�ncias, edif�cios etc.

Ex:� Num levantamento da popula��o de determinada cidade, podemos dispor do mapa indicando cada quarteir�o e n�o dispor de uma rela��o atualizada dos seus moradores. Pode-se, ent�o, colher uma amostra dos quarteir�es e fazer a contagem completa de todos os que residem naqueles quarteir�es sorteados.

M�TODOS N�O PROBABIL�SITCOS

�������� S�o amostragens em que h� uma escolha deliberada dos elementos da amostra. N�o � poss�vel generalizar os resultados das pesquisas para a popula��o, pois as amostras n�o-probabil�sticas n�o garantem a representatividade da popula��o.

AMOSTRAGEM ACIDENTAL

�������� Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos que v�o aparecendo, que s�o poss�veis de se obter at� completar o n�mero de elementos da amostra. Geralmente utilizada em pesquisas de opini�o, em que os entrevistados s�o acidentalmente escolhidos.

Ex: Pesquisas de opini�o em pra�as p�blicas, ruas de grandes cidades;

AMOSTRAGEM INTENCIONAL

�������� De acordo com determinado crit�rio, � escolhido intencionalmente um grupo de elementos que ir�o compor a amostra. O investigador se dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais deseja saber a opini�o.

Ex:� Numa pesquisa sobre prefer�ncia por determinado cosm�tico, o pesquisador se dirige a um grande sal�o de beleza e entrevista as pessoas que ali se encontram.

AMOSTRAGEM POR QUOTAS

�������� Um dos m�todos de amostragem mais comumente usados em levantamentos de mercado e em pr�vias eleitorais. Ele abrange tr�s fases:

1� - classifica��o da popula��o em termos de propriedades que se sabe, ou presume, serem relevantes para a caracter�stica a ser estudada;

2� - determina��o da propor��o da popula��o para cada caracter�stica, com base na constitui��o conhecida, presumida ou estimada, da popula��o;

3� - fixa��o de quotas para cada entrevistador a quem tocar� a responsabilidade de selecionar entrevistados, de modo que a amostra total observada ou entrevistada contenha a propor��o e cada classe tal como determinada na 2� fase.

Ex: ���� Numa pesquisa sobre o "trabalho das mulheres na atualidade", provavelmente se ter� interesse em considerar: a divis�o cidade e campo, a habita��o, o n�mero de filhos, a idade dos filhos, a renda m�dia, as faixas et�rias etc.

A primeira tarefa � descobrir as propor��es (porcentagens) dessas caracter�sticas na popula��o. Imagina-se que haja 47% de homens e 53% de mulheres na popula��o. Logo, uma amostra de 50 pessoas dever� ter 23 homens e 27 mulheres. Ent�o o pesquisador receber� uma "quota" para entrevistar 27 mulheres. A considera��o de v�rias categorias exigir� uma composi��o amostral que atenda ao n determinado e �s propor��es populacionais estipuladas.

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S�RIES ESTAT�STICAS

TABELA:����� � um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira sistem�tica.

�         De acordo com a Resolu��o 886 do IBGE, nas casas ou c�lulas da tabela devemos colocar :

• um tra�o horizontal ( - ) quando o valor � zero;
• tr�s pontos ( ... ) quando n�o temos os dados;
• zero ( 0 ) quando o valor � muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada;
• um ponto de interroga��o ( ? ) quando temos d�vida quanto � exatid�o de determinado valor.

Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto..

S�RIE ESTAT�STICA:� ��� � qualquer tabela que apresenta a distribui��o de um conjunto de dados estat�sticos em fun��o da �poca, do local ou da esp�cie.

S�ries Hom�gradas:����������� s�o aquelas em que a vari�vel descrita apresenta varia��o discreta ou descont�nua. Podem ser do tipo temporal, geogr�fica ou espec�fica.

a) S�rie Temporal:�� � Identifica-se pelo car�ter vari�vel do fator cronol�gico. O local e a esp�cie (fen�meno) s�o elementos fixos. Esta s�rie tamb�m � chamada de hist�rica ou evolutiva.

� ABC VE�CULOS LTDA.

� Vendas no 1� bimestre de 1996

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b) S�rie Geogr�fica:��������� Apresenta como elemento vari�vel o fator geogr�fico. A �poca e o fato (esp�cie) s�o elementos fixos. Tamb�m � chamada de espacial, territorial ou de localiza��o.

ABC VE�CULOS LTDA.

Vendas no 1� bimestre de 1996

c) S�rie Espec�fica: ���������� O car�ter vari�vel � apenas o fato ou esp�cie. Tamb�m � chamada de s�rie categ�rica.

ABC VE�CULOS LTDA.

Vendas no 1� bimestre de 1996

S�RIES CONJUGADAS: �� �Tamb�m chamadas de tabelas de dupla entrada. S�o apropriadas � apresenta��o de duas ou mais s�ries de maneira conjugada, havendo duas ordens de classifica��o: uma horizontal e outra vertical. O exemplo abaixo � de uma s�rie geogr�fica-temporal.

ABC VE�CULOS LTDA.

Vendas no 1� bimestre de 1996

GR�FICOS ESTAT�STICOSG

�������� S�o representa��es visuais dos dados estat�sticos que devem corresponder, mas nunca substituir as tabelas estat�sticas.

Caracter�sticas:������� Uso de escalas, sistema de coordenadas, simplicidade, clareza e veracidade.

Gr�ficos de informa��o: ������������ S�o gr�ficos destinados principalmente ao p�blico em geral, objetivando proporcionar uma visualiza��o r�pida e clara. S�o gr�ficos tipicamente expositivos, dispensando coment�rios explicativos adicionais. As legendas podem ser omitidas, desde que as informa��es desejadas estejam presentes.

Gr�ficos de an�lise:���������� S�o gr�ficos que prestam-se melhor ao trabalho estat�stico, fornecendo elementos �teis � fase de an�lise dos dados, sem deixar de ser tamb�m informativos. Os gr�ficos de an�lise freq�entemente v�m acompanhados de uma tabela estat�stica. Inclui-se, muitas vezes um texto explicativo, chamando a aten��o do leitor para os pontos principais revelados pelo gr�fico.

�         Uso indevido de Gr�ficos: Podem trazer uma id�ia falsa dos dados que est�o sendo analisados, chegando mesmo a confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de um problema de constru��o de escalas.

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Classifica��o dos gr�ficos: ������ Diagramas, Estereogramas, Pictogramas e Cartogramas.

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1 - Diagramas:

�������� S�o gr�ficos geom�tricos dispostos em duas dimens�es. S�o os mais usados na representa��o de s�ries estat�sticas. Eles podem ser :

1.1-       Gr�ficos em barras horizontais.

1.2-���� Gr�ficos em barras verticais ( colunas ).

�         Quando as legendas n�o s�o breves usa-se de prefer�ncia os gr�ficos em barras horizontais. Nesses gr�ficos os ret�ngulos t�m a mesma base e as alturas s�o proporcionais aos respectivos dados.

�  A ordem a ser observada � a cronol�gica, se a s�rie for hist�rica, e a

�  decrescente, se for geogr�fica ou categ�rica.

1.2-       Gr�ficos em barras compostas.

1.4- ��� Gr�ficos em colunas superpostas.

�         Eles diferem dos gr�ficos em barras ou colunas convencionais apenas pelo fato de apresentar cada barra ou coluna segmentada em partes componentes. Servem para representar comparativamente dois ou mais atributos.

1.5- ��� Gr�ficos em linhas ou lineares.

�         S�o freq�entemente usados para representa��o de s�ries cronol�gicas com um grande n�mero de per�odos de tempo. As linhas s�o mais eficientes do que as colunas, quando existem intensas flutua��es nas s�ries ou quando h� necessidade de se representarem v�rias s�ries em um mesmo gr�fico.

�         Quando representamos, em um mesmo sistema de coordenadas, a varia��o de dois fen�menos, a parte interna da figura formada pelos gr�ficos desses fen�menos � denominada de �rea de excesso.

1.5-���� Gr�ficos em setores.

�         Este gr�fico � constru�do com base em um c�rculo, e � empregado sempre que desejamos ressaltar a participa��o do dado no total. O total � representado pelo c�rculo, que fica dividido em tantos setores quantas s�o as partes. Os setores s�o tais que suas �reas s�o respectivamente proporcionais aos dados da s�rie. O gr�fico em setores s� deve ser empregado quando h�, no m�ximo, sete dados.

�         Obs:� As s�ries temporais geralmente n�o s�o representadas por este tipo de gr�fico.

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2 - Estereogramas:

�������� S�o gr�ficos geom�tricos dispostos em tr�s dimens�es, pois representam volume. S�o usados nas representa��es gr�ficas das tabelas de dupla entrada. Em alguns casos este tipo de gr�fico fica dif�cil de ser interpretado dada a pequena precis�o que oferecem.

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3 - Pictogramas:

�������� S�o constru�dos a partir de figuras representativas da intensidade do fen�meno. Este tipo de gr�fico tem a vantagem de despertar a aten��o do p�blico leigo, pois sua forma � atraente e sugestiva. Os s�mbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas � que apenas mostram uma vis�o geral do fen�meno, e n�o de detalhes minuciosos. Veja o exemplo abaixo:

4- Cartogramas:

������� S�o ilustra��es relativas a cartas geogr�ficas (mapas). O objetivo desse gr�fico � o de figurar os dados estat�sticos diretamente relacionados com �reas geogr�ficas ou pol�ticas.

DISTRIBUI��O DE FREQ��NCIA

�������� � um tipo de tabela que condensa uma cole��o de dados conforme as freq��ncias (repeti��es de seus valores).

Tabela primitiva ou dados brutos:������ � uma tabela ou rela��o de elementos que n�o foram numericamente organizados. � dif�cil formarmos uma id�ia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir de dados n�o ordenados.

Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51

ROL:������������� � a tabela obtida ap�s a ordena��o dos dados (crescente ou decrescente).

Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60

Distribui��o de freq��ncia sem intervalos de classe:���� � a simples condensa��o dos dados conforme as repeti��es de seu valores. Para um ROL de tamanho razo�vel esta distribui��o de freq��ncia � inconveniente, j� que exige muito espa�o. Veja exemplo abaixo:

Distribui��o de freq��ncia com intervalos de classe:Quando o tamanho da amostra � elevado, � mais racional efetuar o agrupamento dos valores em v�rios intervalos de classe.

ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUI��O DE FREQ��NCIA (com intervalos de classe) �

�

CLASSE: ���� s�o os intervalos de varia��o da vari�vel e � simbolizada por� i� e o n�mero total de classes simbolizada por k. Ex: na tabela anterior k = 5 e� �49 |------- 53 � a 3� classe, onde i = 3.

LIMITES DE CLASSE: ���� s�o os extremos de cada classe. O menor n�mero � o limite inferior de classe ( li ) e o maior n�mero, limite superior de classe ( Li ).� Ex: em 49 |------- 53,... l3 = 49 e L3 = 53.� O s�mbolo |------- representa um intervalo fechado � esquerda e aberto � direita. O dado 53 do ROL n�o pertence a classe 3 e sim a classe 4 representada por 53 |------- 57.

AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE: �� �� obtida atrav�s da diferen�a entre o limite superior e inferior da classe e � simbolizada por hi = Li - li.�� Ex: na tabela anterior hi = 53 - 49 = 4. Obs: Na distribui��o de freq��ncia c/ classe o hi ser� igual em todas as classes.

AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUI��O:����� � a diferen�a entre o limite superior da �ltima classe e o limite inferior da primeira classe.AT = L(max) - l(min).�� Ex: na tabela anterior AT = 61 - 41= 20.

AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA (ROL): � � a diferen�a entre o valor m�ximo e o valor m�nimo da amostra (ROL). Onde AA = Xmax - Xmin.�� Em nosso exemplo AA = 60 - 41 = 19.

Obs:�� AT sempre ser� maior que AA.

PONTO� M�DIO DE CLASSE: �� � o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. .......Ex: em 49 |------- 53 o ponto m�dio x3 = (53+49)/2 = 51, ou seja� x3=( l3 + L3 )/2.

M�todo pr�tico para constru��o de uma Distribui��o de Freq��ncias c/ Classe �

1� -����� Organize os dados brutos em um ROL.

2� -����� Calcule a amplitude amostralAA.

�  No nosso exmplo:�� AA� = 60 - 41� = 19

3� -����� Calcule o n�mero de classes atrav�s da "Regra de Sturges":

Obs: � Qualquer regra para determina��o do n� de classes da tabela n�o nos levam a uma decis�o final; esta vai depender, na realidade de um julgamento pessoal, que deve estar ligado � natureza dos dados.

No nosso exemplo:�� n� =� 20 dados, ent�o ,a princ�pio, a regra sugere a ado��o de 5 classes.

4� -����� Decidido o n� de classes, calcule ent�o a amplitude do intervalo de classe� h > AA / i.

No nosso exemplo: AA/i = 19/5 = 3,8 . Obs: Como h > AA/i um valor ligeiramente superior para haver folga na �ltima classe. Utilizaremos ent�o� h = 4

5� - ���� Temos ent�o o menor n� da amostra, o n� de classes e a amplitude do intervalo. Podemos montar a tabela, com o cuidado para n�o aparecer classes com freq��ncia = 0 (zero).

No nosso exemplo: o menor n� da amostra = 41 + h = 45, logo a primeira classe ser� representada por ...... 41 |------- 45. As classes seguintes respeitar�o o mesmo procedimento.

O primeiro elemento das classes seguintes sempre ser�o formadas pelo �ltimo elemento da classe anterior.

REPRESENTA��O GR�FICA DE UMA DISTRIBUI��O

Histograma,� Pol�gono de freq��ncia e� Pol�gono de freq��ncia acumulada

�������� Em todos os gr�ficos acima utilizamos o primeiro quadrante do sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais. Na linha horizontal (eixo das abscissas) colocamos os valores da vari�vel e na linha vertical (eixo das ordenadas), as freq��ncias.

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Histograma: ���������� � formado por um conjunto de ret�ngulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos m�dios coincidam com os pontos m�dios dos intervalos de classe. A �rea de um histograma � proporcional � soma das freq��ncias simples ou absolutas.

Freq��ncias simples ou absoluta: ����� s�o os valores que realmente representam o n�mero de dados de cada classe. A soma das freq��ncias simples � igual ao n�mero total dos dados da distribui��o.

Freq��ncias relativas: ��� s�o os valores das raz�es entre as freq��ncia absolutas de cada classe e a freq��ncia total da distribui��o. A soma das freq��ncias relativas � igual a 1 (100 %).

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Pol�gono de freq��ncia: �� �� um gr�fico em linha, sendo as freq��ncias marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos m�dios dos intervalos de classe. Para realmente obtermos um pol�gono (linha fechada), devemos completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos m�dios da classe anterior � primeira e da posterior � �ltima, da distribui��o.

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Pol�gono de freq��ncia acumulada: � � tra�ado marcando-se as freq��ncias acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.

Freq��ncia simples acumulada de uma classe:����� � o total das freq��ncias de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determinada classe.

Freq��ncia relativa acumulada de um classe:�������� � a freq��ncia acumulada da classe, dividida pela freq��ncia total da distribui��o.

fi = freq��ncia simples;��� xi = ponto m�dio de classe;��� fri = freq��ncia simples acumulada;

Fi = freq��ncia relativa� e� Fri = freq��ncia relativa acumulada.

�         Obs: uma distribui��o de freq��ncia sem intervalos de classe � representada graficamente por um diagrama onde cada valor da vari�vel � representado por um segmento de reta vertical e de comprimento proporcional � respectiva freq��ncia.

.

3.� �MEDIDAS DE POSI��O

Introdu��o

�������� S�o as estat�sticas que representam uma s�rie de dados orientando-nos quanto � posi��o da distribui��o em rela��o ao eixo horizontal do gr�fico da curva de freq��ncia.

�         As medidas de posi��es mais importantes s�o as medidas de tend�ncia central ou prom�dias (verifica-se uma tend�ncia dos dados observados a se agruparem em torno dos valores centrais).

�         As medidas de tend�ncia central mais utilizadas s�o: m�dia aritm�tica, moda e mediana. Outros prom�dios menos usados s�o as m�dias: geom�trica, harm�nica, quadr�tica, c�bica e biquadr�tica.

�         As outras medidas de posi��o s�o as separatrizes,que englobam: a pr�pria mediana, os decis, os quartis e os percentis.

.

M�DIA ARITM�TICA =

�������� � igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o n�mero total dos valores.

......

onde� xi s�o os valores da vari�vel e n o n�mero de valores.

.

Dados n�o-agrupados: � Quando desejamos conhecer a m�dia dos dados n�o-agrupados em tabelas de freq��ncias, determinamos a m�dia aritm�tica simples.

Ex:����� Sabendo-se que a venda di�ria de arroz tipo A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 kilos, temos, para venda m�dia di�ria na semana de:

Desvio em rela��o � m�dia: ����� � a diferen�a entre cada elemento de um conjunto de valores e a m�dia aritm�tica, ou seja:.

. di = Xi -

No exemplo anterior temos sete desvios:...� �d1 = 10 - 14 = - 4 , ...d2 = 14 - 14 = 0 ,�� d3 = 13 - 14 = - 1 , ...d4 = 15 - 14 = 1 ,... d5 = 16 - 14 = 2 ,... d6 = 18 - 14 = 4 ...e.� ..�� d7 = 12 - 14 = - 2.

.

Propriedades da m�dia aritm�tica� �

1� propriedade: ���� A soma alg�brica dos desvios em rela��o � m�dia � nula.

�         No exemplo anterior : d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7 = 0

2� propriedade: ���� Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os valores de uma vari�vel, a m�dia do conjunto fica aumentada ( ou diminu�da) dessa constante.

�         Se no exemplo original somarmos a constante 2 a cada um dos valores da vari�vel temos:

Y = 12+16+15+17+18+20+14 / 7 = 16 kilos ou

Y =

3� propriedade: ���� Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma vari�vel por uma constante (c), a m�dia do conjunto fica multiplicada ( ou dividida) por essa constante.

�         Se no exemplo original multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores da vari�vel temos:

Y = 30+42+39+45+48+54+36 / 7 = 42 kilos ou

Y =

.

Dados agrupados:

Sem intervalos de classe ������ Consideremos a distribui��o relativa a 34 fam�lias de quatro filhos, tomando para vari�vel o n�mero de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade m�dia de meninos por fam�lia:

�         Como as freq��ncias s�o n�meros indicadores da intensidade de cada valor da vari�vel, elas funcionam como fatores de pondera��o, o que nos leva a calcular a m�dia aritm�tica ponderada, dada pela f�rmula:

onde 78 / 34� =� 2,3 meninos por fam�lia

Com intervalos de classe� ����� Neste caso, convencionamos que todos os valores inclu�dos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto m�dio, e determinamos a m�dia aritm�tica ponderada por meio da f�rmula:

onde Xi � o ponto m�dio da classe.

Ex: Calcular a estatura m�dia de beb�s conforme a tabela abaixo.

Aplicando a f�rmula acima temos: 2.440 / 40.= 61. logo...

M�dia Geom�trica� =�

�������� � a raiz n-�sima do produto de todos eles.

M�dia Geom�trica Simples:

ou .

Ex.: - Calcular a m�dia geom�trica dos seguintes conjuntos de n�meros:E

a) { 10, 60, 360 }.:��������������� � = ( 10� * 60 * 36 0) ^ (1/3) ....R: 60

b) { 2, 2, 2 }........: ���������������� �= (2 * 2 * 2 ^ (1/3) ..��� .R: 2

c) { 1, 4, 16, 64 }:����������������� = (1 * 4 * 16 * 64� ) ^(1/4) ....R: 8

.

M�dia Geom�trica Ponderada :

�

ou ..

Ex - Calcular a m�dia geom�trica dos valores da tabela abaixo:

=��� (12 * 34 * 92 * 271) (1/9)........R: 3,8296

.

M�DIA HARM�NICA� -

�������� � o inverso da m�dia aritm�tica dos inversos.

.

M�dia Harm�nica Simples:.� (para dados n�o agrupados)

..

.

M�dia Harm�nica Ponderada :� (para dados agrupados em tabelas de freq��ncias)

Ex.: Calcular a m�dia harm�nica dos valores da tabela abaixo:

Resp: 20 / 4,03 = 4,96

OBS:������� A m�dia harm�nica n�o aceita valores iguais a zero como dados de uma s�rie.

�         A igualdade

OBS:������� Quando os valores da vari�vel n�o forem muito diferentes, verifica-se aproximadamente a seguinte rela��o:

�         Demonstraremos a rela��o acima com os seguintes dados:

z = { 10,1 ; 10,1 ; 10,2 ; 10,4 ; 10,5 }

M�dia aritm�tica = 51,3 / 5����������� = 10,2600

M�dia geom�trica= ����������������������� ����������������������� = 10,2587

M�dia harm�nica = 5 / 0,4874508 ��������� = 10,2574

Comprovando a rela��o: 10,2600 + 10,2574 / 2 = 10,2587 = m�dia geom�trica

.

MODA� -� Mo

�������� � o valor que ocorre com maior freq��ncia em uma s�rie de valores.

�         Desse modo, o sal�rio modal dos empregados de uma f�brica � o sal�rio mais comum, isto �, o sal�rio recebido pelo maior n�mero de empregados dessa f�brica.

.

A Moda quando os dados n�o est�o agrupados �

• A moda � facilmente reconhecida: basta, de acordo com defini��o, procurar o valor que mais se repete.

Ex: Na s�rie { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda � igual a 10.

• H� s�ries nas quais n�o exista valor modal, isto �, nas quais nenhum valor apare�a mais vezes que outros.

Ex: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } n�o apresenta moda. A s�rie � amodal.

• .Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentra��o. Dizemos, ent�o, que a s�rie tem dois ou mais valores modais.

Ex: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. A s�rie � bimodal.

.

A Moda quando os dados est�o agrupados� �

a) Sem intervalos de classe:����� Uma vez agrupados os dados, � poss�vel determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da vari�vel de maior freq��ncia.

Ex: Qual a temperatura mais comum medida no m�s abaixo:

Resp: 2� C � a temperatura modal, pois� � a de maior freq��ncia.

.

b) Com intervalos de classe:���� A classe que apresenta a maior freq��ncia � denominada classe modal. Pela defini��o, podemos afirmar que a moda, neste caso, � o valor dominante que est� compreendido entre os limites da classe modal. O m�todo mais simples para o c�lculo da moda consiste em tomar o ponto m�dio da classe modal. Damos a esse valor a denomina��o de moda bruta.

onde l* = limite inferior da classe modal e L* = limite superior da classe modal.

Ex:� Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo.

Resposta: a classe modal � 58|-------- 62, pois � a de maior freq��ncia. l* = 58 e L* = 62

Mo = (58+62) / 2 = 60 cm ( este valor � estimado, pois n�o conhecemos o valor real da moda).

M�todo mais elaborado pela f�rmula de CZUBER:���� Mo = l* + (d1/(d1+d2)) x h*

l* = limite inferior da classe modal..... e..... L* = limite superior da classe modal

d1 =� freq��ncia da classe modal - freq��ncia da classe anterior � da classe modal

d2 = freq��ncia da classe modal - freq��ncia da classe posterior � da classe modal

h* = amplitude da classe modal

Mo =� 58 + ((11-9) / ((11-9) + (11 � 8)) x 4���������� �������� Mo = 59,6

Obs:� A moda � utilizada quando desejamos obter uma medida r�pida e aproximada de posi��o ou quando a medida de posi��o deva ser o valor mais t�pico da distribui��o. J� a m�dia aritm�tica � a medida de posi��o que possui a maior estabilidade.

MEDIANA� -� Md

�������� A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem ( crescente ou decrescente), � o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo n�mero de elementos.

.

A mediana em dados n�o-agrupados �

Dada uma s�rie de valores como, por exemplo: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }

De acordo com a defini��o de mediana, o primeiro passo a ser dado � o da ordena��o (crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }

O valor que divide a s�rie acima em duas partes iguais � igual a 9, logo a Md = 9.

.

M�todo pr�tico para o c�lculo da Mediana:

������� Se a s�rie dada tiver n�mero �mpar de termos:� ���� O valor mediano ser� o termo de ordem dado pela f�rmula :

Ex: Calcule a mediana da s�rie { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }

1� - ordenar a s�rie { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 }

n = 9 logo (n + 1)/2 � dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5� elemento da s�rie ordenada ser� a mediana

A mediana ser� o 5� elemento = 2

.

Se a s�rie dada tiver n�mero par de termos: ���������� O valor mediano ser� o termo de ordem dado pela f�rmula :....

.[( n/2 ) +( n/2+ 1 )] / 2

Obs:�� n/2 e (n/2 + 1) ser�o termos de ordem e devem ser substitu�dos pelo valor correspondente.

Ex: Calcule a mediana da s�rie { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 }

1� - ordenar a s�rie { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }

n = 10 logo a f�rmula ficar�: [( 10/2 ) + (10/2 + 1)] / 2

[( 5 + 6)] / 2 ser� na realidade (5� termo+ 6� termo) / 2

5� termo = 2

6� termo = 3

A mediana ser� = (2+3) / 2 ou seja, Md = 2,5 . A mediana no exemplo ser� a m�dia aritm�tica do 5� e 6� termos da s�rie.

Notas:

• Quando o n�mero de elementos da s�rie estat�stica for �mpar, haver� coincid�ncia da mediana com um dos elementos da s�rie.

• Quando o n�mero de elementos da s�rie estat�stica for par, nunca haver� coincid�ncia da mediana com um dos elementos da s�rie. A mediana ser� sempre a m�dia aritm�tica dos 2 elementos centrais da s�rie.

• Em uma s�rie a mediana, a m�dia e a moda n�o t�m, necessariamente, o mesmo valor.

• A mediana, depende da posi��o e n�o dos valores dos elementos na s�rie ordenada. Essa � uma da diferen�as marcantes entre mediana e m�dia ( que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Vejamos:

Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a m�dia = 10 e a mediana = 10

Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a m�dia = 20 e a mediana = 10

�         isto �, a m�dia do segundo conjunto de valores � maior do que a do primeiro, por influ�ncia dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.

A mediana em dados agrupados �

a) Sem intervalos de classe:����� Neste caso, � o bastante identificar a freq��ncia acumulada imediatamente superior � metade da soma das freq��ncias. A mediana ser� aquele valor da vari�vel que corresponde a tal freq��ncia acumulada.

Ex.:� conforme tabela abaixo:

�         Quando o somat�rio das freq��ncias for �mpar o valor mediano ser� o termo de ordem dado pela f�rmula :

.

�         Como o somat�rio das freq��ncias = 35 a f�rmula ficar�: ( 35+1 ) / 2 = 18� termo = 3..

�         Quando o somat�rio das freq��ncias for par o valor mediano ser� o termo de ordem dado pela f�rmula:

Ex:� Calcule Mediana da tabela abaixo:

�         Aplicando f�rmula acima teremos:[(8/2)+ (8/2+1)]/2 = (4� termo + 5� termo) / 2 = (15 + 16) / 2 = 15,5

b) Com intervalos de classe:���� Devemos seguir os seguintes passos:

1�) ����� Determinamos as freq��ncias acumuladas ;

2�) ����� Calculamos

����� Marcamos a classe correspondente � freq��ncia acumulada imediatamente superior ���

. Tal classe ser� a classe mediana ;

4�) Calculamos a Mediana pela seguinte f�rmula:.��� M� Md = l* + [(

l* ������� = � o limite inferior da classe mediana.

FAA �� = � a freq��ncia acumulada da classe anterior � classe mediana.

f* ������� = � a freq��ncia simples da classe mediana.

h*������� = � a amplitude do intervalo da classe mediana.

Ex:

l* = 58........... FAA = 13........... f* = 11........... h* = 4

Substituindo esses valores na f�rmula, obtemos:

Md = 58 + [ (20 - 13) x 4] / 11 = 58 + 28/11 = 60,54

OBS: Esta mediana � estimada, pois n�o temos os 40 valores da distribui��o.

Emprego da Mediana

• Quando desejamos obter o ponto que divide a distribui��o em duas partes iguais.
• Quando h� valores extremos que afetam de maneira acentuada a m�dia aritm�tica.
• Quando a vari�vel em estudo � sal�rio.

SEPARATRIZES

�������� Al�m das medidas de posi��o que estudamos, h� outras que, consideradas individualmente, n�o s�o medidas de tend�ncia central, mas est�o ligadas � mediana relativamente � sua caracter�stica de separar a s�rie em duas partes que apresentam o mesmo n�mero de valores.

Essas medidas - os quartis, os decis e os percentis - s�o, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome gen�rico de separatrizes.

.

QUARTIS� -� Q

�������� Denominamos quartis os valores de uma s�rie que a dividem em quatro partes iguais.� Precisamos portanto de 3 quartis (Q1 , Q2 e Q3) para dividir a s�rie em quatro partes iguais.

Obs: O quartil 2 ( Q2 ) sempre ser� igual a mediana da s�rie.

Quartis em dados n�o agrupados� �

�������� O m�todo mais pr�tico � utilizar o princ�pio do c�lculo da mediana para os 3 quartis.� Na realidade ser�o calculadas " 3 medianas " em uma mesma s�rie.

Ex 1: Calcule os quartis da s�rie: { 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 }

- O primeiro passo a ser dado � o da ordena��o (crescente ou decrescente) dos valores:�� { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }

- O valor que divide a s�rie acima em duas partes iguais � igual a 9, logo a Md = 9 que ser� = Q2 = 9

- Temos agora {2, 5, 6 } e {10, 13, 15 } como sendo os dois grupos de valores iguais proporcionados pela mediana ( quartil 2 ). Para o c�lculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas das partes iguais provenientes da verdadeira Mediana da s�rie (quartil 2).

Logo em { 2, 5, 6 } a mediana � = 5 . Ou seja: ser� o quartil 1 = Q1 = 5

em {10, 13, 15 } a mediana � =13 . Ou seja: ser� o quartil 3 = Q = 13

Ex 2: Calcule os quartis da s�rie: { 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }

-          A s�rie j� est� ordenada, ent�o calcularemos o Quartil 2 = Md = (5+6)/2 = 5,5

-           

- O quartil 1 ser� a mediana da s�rie � esquerda de Md : { 1, 1, 2, 3, 5, 5 }

Q1 = (2+3)/2 = 2,5

- O quartil 3 ser� a mediana da s�rie � direita de Md : {6, 7, 9, 9, 10, 13 }

Q3 = (9+9)/2 = 9

Quartis para dados agrupados em classes� �������

�������� Usamos a mesma t�cnica do c�lculo da mediana, bastando substituir, na f�rmula da mediana,

E fi / 2.... por  ... k . E fi / 4  ... sendo k o n�mero de ordem do quartil.

Assim, temos:

Q1 = . l* + [(E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

Q2 = . l* + [(2.E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

Q3 = . l* + [(3.E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

Ex 3 - Calcule os quartis da tabela abaixo:

- O quartil 2 = Md , logo:

l* = 58........... FAA = 13........... f* = 11........... h* = 4

Q2 = . l* + [(2.E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

- Substituindo esses valores na f�rmula, obtemos:

Md = 58 + [ (20 - 13) x 4] / 11 = 58 + 28/11 = 60,54 = Q2

- O quartil 1 :�� E fi / 4 = 10

Q1 = . l* + [(E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

Q1 = 54 + [ (10 - 4) x 4] / 9 = 54 + 2,66 = 56,66 = Q1

.

- O quartil 3 : 3.E fi / 4 = 30

Q3 = . l* + [(3.E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

Q3 = 62 + [ (30 -24) x 4] / 8 = 62 + 3 = 65 = Q3

DECIS� -� D

�������� A defini��o dos decis obedece ao mesmo princ�pio dos quartis, com a modifica��o da porcentagem de valores que ficam aqu�m e al�m do decil que se pretende calcular. A f�rmula b�sica ser� :�� k .E fi / 10 onde k � o n�mero de ordem do decil a ser calculado.�� Indicamos os decis : D1, D2, ... , D9. Deste modo precisamos de 9 decis para dividirmos uma s�rie em 10 partes iguais.

�         De especial interesse � o quinto decil, que divide o conjunto em duas partes iguais. Assim sendo,o quinto decil � igual ao segundo quartil, que por sua vez � igual � mediana.

Para D5 temos : ����� 5.E fi / 10 = E fi / 2

Ex:� �Calcule o 3� decil da tabela anterior com classes.

k= 3 onde��� 3 .E fi / 10 = 3 x 40 / 10 = 12.

Este resultado corresponde a 2� classe.

D3 = 54 + [ (12 - 4) x 4]� / 9 = 54 + 3,55 = 57,55 = D3

PERCENTIL ou CENTIL

�������� Denominamos percentis ou centis como sendo os noventa e nove valores que separam uma s�rie em 100 partes iguais. Indicamos: P1, P2, ... , P99.� � evidente que P50 = Md ; P25 = Q1 e P75 = Q3.

�         O c�lculo de um centil segue a mesma t�cnica do c�lculo da mediana, por�m a f�rmula ser���� : k .E fi / 100��� onde k � o n�mero de ordem do centil a ser calculado.

Dispers�o ou Variabilidade:������ � a maior ou menor diversifica��o dos valores de uma vari�vel em torno de um valor de tend�ncia central ( m�dia ou mediana ) tomado como ponto de compara��o.

�         A m�dia - ainda que considerada como um n�mero que tem a faculdade de representar uma s�rie de valores - n�o pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que comp�em o conjunto.

�         Consideremos os seguintes conjuntos de valores das vari�veis X, Y e Z:

X = { 70, 70, 70, 70, 70 }

Y = { 68, 69, 70 ,71 ,72 }

Z = { 5, 15, 50, 120, 160 }

-          Observamos ent�o que os tr�s conjuntos apresentam a mesma m�dia aritm�tica = 350/5 = 70

�         Entretanto, � f�cil notar que o conjunto X � mais homog�neo que os conjuntos Y e Z, j� que todos os valores s�o iguais � m�dia. O conjunto Y, por sua vez, � mais homog�neo que o conjunto Z, pois h� menor diversifica��o entre cada um de seus valores e a m�dia representativa.

�         Conclu�mos ent�o que o conjunto X apresenta dispers�o nulae que o conjunto Y apresenta uma dispers�o menorque o conjunto Z.

4.� MEDIDAS DE DISPERS�O ABSOLUTA

Amplitude total:������� � a �nica medida de dispers�o que n�o tem na m�dia o ponto de refer�ncia.

�         Quando os dados n�o est�o agrupados a amplitude total � a diferen�a entrE o maior e o menor valor observado:

AT = X m�ximo - X m�nimo.

Ex: ���� Para os valores  40, 45, 48, 62 e 70  a amplitude total ser�:  AT = 70 - 40 = 30

Quando os dados est�o agrupados sem intervalos de classe ainda temos :

AT = X m�ximo - X m�nimo.

Ex:

�  AT = 4 - 0 = 4

* Com intervalos de classe a amplitude total � a diferen�a entre o limite superior da �ltima classe e o limite inferior da primeira classe. Ent�o:

�AT = L m�ximo - l m�nimo

Ex:

�  AT = 10 - 4 = 6

�         A amplitude total tem o inconveniente de s� levar em conta os dois valores extremos da s�rie, descuidando do conjunto de valores intermedi�rios. Faz-se uso da amplitude total quando se quer determinar a amplitude da temperatura em um dia, no controle de qualidade ou como uma medida de c�lculo r�pido sem muita exatid�o.

 Desvio quartil:���������� Tamb�m chamado de amplitude semi-interquat�lica e � baseada nos quartis.

S�mbolo: Dq    e     a     F�rmula:�� Dq = (Q3 - Q1) / 2

Observa��es:

1 - ����� O desvio quartil apresenta como vantagem o fato de ser uma medida f�cil de calcular e de interpretar. Al�m do mais, n�o � afetado pelos valores extremos, grandes ou pequenos, sendo recomendado, por conseguinte, quando entre os dados figurem valores extremos que n�o se consideram representativos.

2- ������ O desvio quartil dever� ser usado preferencialmente quando a medida de tend�ncia central for a mediana.

3- ������ Trata-se de uma medida insens�vel � distribui��o dos itens menores que Q1, entre Q1 e Q3 e maiores que Q3.

Ex: Para os valores  40, 45, 48, 62 e 70  o desvio quartil ser�:

Q1 = (45+40)/2 = 42,5     Q3 = (70+62)/2 = 66     Dq = (66 - 42,5) / 2 = 11,75

Desvio m�dio absoluto� - Dm

Para dados brutos:���������� � a m�dia aritm�tica dos valores absolutos dos desvios tomados em rela��o a uma das seguintes medidas de tend�ncia central: m�dia ou mediana.

�         para a M�dia = ������������������ Dm = E | Xi -

�         para a Mediana = �������������� Dm = E | Xi - Md |  / n

�         As barras verticais indicam que s�o tomados os valores absolutos, prescindindo do sinal dos desvios.

Ex: Calcular o desvio m�dio do conjunto de n�meros   { - 4 , - 3 , - 2 , 3 , 5 }

Tabela auxiliar para c�lculo do desvio m�dio

Xi	Xi -	| Xi -  |		Xi - Md	| Xi - Md |
- 4	(- 4) - (-0,2) = -3,8	3,8		(- 4) - (-2) = - 2	2
- 3	(- 3) - (-0,2) = -2,8	2,8		(- 3) - (-2) = - 1	1
- 2	(- 2) - (-0,2) = -1,8	1,8		(- 2) - (-2) = 0	0
3	3 - (-0,2) = 3,2	3,2		3 - (-2) = 5	5
5	5 - (-0,2) = 5,2	5,2		5 - (-2) = 7	7
	E =	16,8		E =	15

Pela M�dia : ����������� Dm = 16,8 / 5 = 3,36     ������ Pela Mediana : ������������������ Dm = 15 / 5 = 3

DESVIO PADR�O� -� S

�������� � a medida de dispers�o mais geralmente empregada, pois leva em considera��o a totalidade dos valores da vari�vel em estudo. � um indicador de variabilidade bastante est�vel. O desvio padr�o baseia-se nos desvios em torno da m�dia aritm�tica e a sua f�rmula b�sica pode ser traduzida como : a raiz quadrada da m�dia aritm�tica dos quadrados dos desvios e � representada por  S .

�         A f�rmula acima � empregada quando tratamos de uma popula��o de dados n�o-agrupados.

Ex: Calcular o desvio padr�o da popula��o representada por  - 4 , -3 , -2 , 3 , 5

Xi
- 4	- 0,2	- 3,8	14,44
- 3	- 0,2	- 2,8	7,84
- 2	- 0,2	- 1,8	3,24
3	- 0,2	3,2	10,24
5	- 0,2	5,2	27,04
		E =	62,8

Sabemos que n = 5  e   62,8 / 5 = 12,56.

A raiz quadrada de 12,56 � o desvio padr�o = 3,54

Obs: � Quando nosso interesse n�o se restringe � descri��o dos dados mas, partindo da amostra, visamos tirar infer�ncias v�lidas para a respectiva popula��o, conv�m efetuar uma modifica��o, que consiste em usar o divisor n - 1 em lugar de n. A f�rmula ficar� ent�o:

 

�         Se os dados - 4 , -3 , -2 , 3 , 5 representassem uma amostra o desvio padr�o amostral seria a raiz quadrada de 62,8 / (5 -1) = 3,96

�         O desvio padr�o goza de algumas propriedades, dentre as quais destacamos:

1� = ��� Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a todos os valores de uma vari�vel, o desvio padr�o n�o se altera.

2� = ��� Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma vari�vel por uma constante (diferente de zero), o desvio padr�o fica multiplicado ( ou dividido) por essa constante.

�         Quando os dados est�o agrupados (temos a presen�a de freq��ncias) a f�rmula do desvio padr�o ficar� :

Ex: ���� Calcule o desvio padr�o populacional da tabela abaixo:

Xi	f i	Xi . f i				. f i
0	2	0	2,1	-2,1	4,41	8,82
1	6	6	2,1	-1,1	1,21	7,26
2	12	24	2,1	-0,1	0,01	0,12
3	7	21	2,1	0,9	0,81	5,67
4	3	12	2,1	1,9	3,61	10,83
Total	30	63			E =	32,70

- Sabemos que�� E fi = 30  e   32,7 / 30 = 1,09.

- A raiz quadrada de 1,09 � o� desvio padr�o = 1,044

- Se considerarmos os dados como sendo de uma amostra o desvio padr�o seria :     a raiz quadrada de 32,7 / (30 -1) = 1,062

Obs: � Nas tabelas de freq��ncias com intervalos de classe a f�rmula a ser utilizada � a mesma do exemplo anterior.

VARI�NCIA� -� S2

�������� � o desvio padr�o elevado ao quadrado.� A vari�ncia � uma medida que tem pouca utilidade como estat�stica descritiva, por�m � extremamente importante na infer�ncia estat�stica e em combina��es de amostras.

MEDIDAS DE DISPERS�O RELATIVA

Coeficiente de Varia��o de Pearson� -� CVP

�    Na estat�stica descritiva o desvio padr�o por si s� tem grandes limita��es. Assim, um desvio padr�o de 2 unidades pode ser considerado pequeno para uma s�rie de valores cujo valor m�dio � 200; no entanto, se a m�dia for igual a 20, o mesmo n�o pode ser dito.

�    Al�m disso, o fato de o desvio padr�o ser expresso na mesma unidade dos dados limita o seu emprego quando desejamos comparar duas ou mais s�ries de valores, relativamente � sua dispers�o ou variabilidade, quando expressas em unidades diferentes.

�    Para contornar essas dificuldades e limita��es, podemos caracterizar a dispers�o ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor m�dio, medida essa denominada de CVP: Coeficiente de Varia��o de Pearson (� a raz�o entre o desvio padR�o e a m�dia referentes a dados de uma mesma s�rie).

CVP = (S / 

�  o resultado neste caso � expresso em percentual, entretanto pode ser expresso tamb�m atrav�s de um fator decimal, desprezando assim o valor 100 da f�rmula.

Ex:� Tomemos os resultados das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indiv�duos:

- Qual das medidas (Estatura ou Peso) possui maior homogeneidade ?

Resposta: Teremos que calcular o CVP da Estatura e o CVP do Peso. O resultado menor ser� o de maior homogeneidade ( menor dispers�o ou variabilidade).

CVP estatura =������� ( 5 / 175 ) x 100 ������ = 2,85 %

CVP peso = ������������ ( 2 / 68 )�� x 100������� = 2,94 %.

Logo, nesse grupo de indiv�duos, as estaturas apresentam menor grau de dispers�o que os pesos.

Coeficiente de Varia��o de Thorndike� -� CVT

�    � igual ao quociente entre o desvio padr�o e a mediana.

CVT = ( S / Md ) x 100 %

Coeficiente Quart�lico de Varia��o� -� CVQ

�    Esse coeficiente � definido pela seguinte express�o:

CVQ =  [(Q3 - Q1) / (Q3 + Q1)] x 100 %.

Desvio quartil Reduzido � Dqr

Dqr =  [(Q3 - Q1) / 2Md ] x 100 %.

5.� MEDIDAS DE ASSIMETRIA

Introdu��o:

�    Uma distribui��o com classes � sim�trica quando :

M�dia = Mediana = Moda

�������� Uma distribui��o com classes � :

Assim�trica � esquerda ou negativa quando : ������� M�dia < Mediana < Moda

Assim�trica � direita ou positiva quando : ��������������� M�dia > Mediana > Moda

Coeficiente de assimetria:��������� A medida anterior, por ser absoluta, apresenta a mesma defici�ncia do desvio padr�o, isto �, n�o permite a possibilidade de compara��o entre as medidas de duas distribui��es. Por esse motivo, daremos prefer�ncia ao coeficiente de assimetria de Person:

��  As = 3 ( M�dia - Mediana ) / Desvio Padr�o

�

Escalas de assimetria:

| AS | < 0,15 ����������������������� � ������ assimetria pequena

0,15 < | AS | < 1 ����� �������� assimetria moderada

| AS | > 1 ����������������� � ������ assimetria elevada

Obs: � Suponhamos AS = - 0,49� a assimetria � considerada moderada e negativa

Suponhamos AS = 0,75� � a assimetria � considerada moderada e positiva

MEDIDAS DE CURTOSE

Introdu��o:

�    Denominamos curtose o grau de achatamento de uma distribui��o em rela��o a uma distribui��o padr�o, denominada curva normal (curva correspondente a uma distribui��o te�rica de probabilidade).

�    Quando a distribui��o apresenta uma curva de freq��ncia mais fechada que a normal (ou mais aguda ou afilada em sua parte superior), ela recebe o nome de leptoc�rtica.

�    Quando a distribui��o apresenta uma curva de freq��ncia mais aberta que a normal (ou mais achatada em sua parte superior), ela recebe o nome de platic�rtica.

�������� A curva normal, que � a nossa base referencial, recebe o nome de mesoc�rtica.

Coeficiente de curtose

C1 = (Q3 - Q1) / 2(P90 - P10)

�         Este coeficiente � conhecido como percent�lico de curtose.

�         Relativamente a curva normal, temos:

C1 = 0,263��� ������� curva mesoc�rtica

C1 < 0,263 �� � ����� curva leptoc�rtica

C1 > 0,263 �� ������� curva platic�rtica

�    O coeficiente abaixo� ( C2 )ser� utilizado em nossas an�lises:

�    

onde S � desvio padr�o

C2 = 3 � curva mesoc�rtica

C2 > 3 � curva leptoc�rtica

C2 < 3 � curva platic�rtica

FIM

Agradecimento: ��� Este resumo s� foi poss�vel gra�as a �garimpagem� realizada na WEB, mais especificamente na pagina do Prof. Paulo Cezar Ribeiro da Silva, ao qual eu� externo meus agradecimentos.

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