Show
Neste texto sobre o que são funções trigonométricas, você encontrará os tópicos abaixo. Clique em um deles para ir diretamente ao conteúdo:
O que é uma função?As funções são expressões numéricas e algébricas (números e letras) que possuem dois lados separados pelo sinal de igual (=). Os valores que desconhecemos são as incógnitas, representadas por letras. De um lado temos o “f(x)” que representa o valor final da função. Esse valor também pode ser representado por “y”. Do outro lado, temos a regra matemática, ou seja, um conjunto de números que rodeiam o valor “x”. Cada tipo de função obedece a uma regra/estrutura básica, chamada lei de formação. Ela define a “cara” de cada função: de qual tipo ela será e como é seu gráfico. A expressão “em função de” gera uma ideia de dependência. Então, o valor da função “f(x)” ou “y” se modifica à medida que mudamos o valor de “x”. Assim, resolver uma função é pensarnos pares ordenados (x , y) que se adequam àquela regra. O que são Funções Trigonométricas?As Funções Trigonométricas também podem ser chamadas de funções circulares, periódicas ou angulares. Todos esses nomes se devem às suas características principais, que são consequências da sua lei de formação:
Antes de continuarmos, é essencial que você já saiba certos conceitos, porque essa já é uma parte “mais pra frente” da matéria. Nos próximos tópicos, vamos deixar o resumo de alguns conceitos básicos para já ir ativando a sua memória. Porém, se você não viu essas matériasou não entende muito bem, é melhor que você estude sobre os outros assuntos antes,os que deixamos explicados nos links acima! Relembre: o que é trigonometria?A trigonometria é a parte da matemática que estuda as relações entre os ângulos e os lados dos triângulos retângulos. De modo geral, as relações que nos interessam agora são:
Importante: um certo ângulo α tem seno, cosseno e tangente. Os valores dessas relações sempre serão os mesmos, ainda que esse ângulo esteja em outro triângulo com lados diferentes. São mais de 200 resumos gratuitos no Instagram do Beduka. Aproveite! Relembre: como é o ciclo trigonométrico?O ciclo trigonométrico é um gráfico em forma de circunferência, desenhado no meio do plano cartesiano. Ele possui características muito importantes:
Com base nessas características e nas definições de seno cosseno e tangente, concluímos que:
Relembre: o que são funções periódicas?Ser periódico significa repetir algum comportamento. Portanto, as funções periódicas são aquelas que observamos um mesmo desenho no gráfico se repetir (um mesmo resultado) em certos intervalos de tempo.
Como você deve estar imaginando, as funções trigonométricas são um dos exemplos de funções periódicas. Vamos conhecê-las: Quais são as funções trigonométricas?As três principais funções trigonométricas são:
Lembre-se que, ao falar de funções, estamos considerando os valores pertencentes ao conjunto dos números reais. Vamos conhecer todas as características de cada uma delas em particular: Função do senoA função trigonométrica que chamamos de função seno é aquela que possui o seno na sua lei de formação, assim: y = sen(x) Isso significa que:
Quais são as características e propriedades da função seno?Imagem da função senoA Imagem da função seno, que são os possíveis valores de y, serão números entre -1 e 1. Isso porque o raio do ciclo trigonométrico é 1 e estamos falando de um universo onde consideramos os números do conjunto dos Reais. Assim: Im = {y ∈ R / -1 ≤ y ≤ 1} Domínio da função senoO domínio da função seno, que são os possíveis valores de x, serão infinitas possibilidades de números! Isso porque há infinitos valores de ângulos possíveis, mesmo que o ciclo só vá até 360°. Isso só é possível porque estamos falando em um círculo, ou seja, uma figura onde não há começo ou fim e tudo são voltas. Portanto, um ângulo de 750° seria o mesmo que: Comece no 0° e dê a volta completa até chegar em 360°. Continue contando e chegue à segunda volta completa que equivalerá a 720° (360 x 2 = 720). Agora só falta andar os 30° graus restantes para dar 750°. Por isso, no gráfico do ciclo, 750° equivale a 30°. Assim: D = {x ∈ R} Interpretação dos quadrantes da função senoSe a função y = sen(x) é projetada nos valores do eixo y, então:
Onde a função seno é crescente e decrescente?Já te dissemos que no ciclo trigonométrico nós fazemos a leitura no sentido anti-horário. Tendo isso em mente, observe uma coisa interessante: Se pegarmos dois ângulos em ordem crescente e que pertencem ao primeiro quadrante, os resultados dos senos são crescentes também. Ex: sen 30° = 0,50 e sen 40° = 0,75. Porém, se pegarmos dois ângulos em ordem crescente e que sejam do segundo quadrante, os resultados dos senos são decrescentes. Ex: sen 150° = 0,50 e sen 160° = 0,34. Seguindo essa lógica, dizemos que:
Como interpretar o gráfico da função seno?Se a função não pode assumir valores maiores que 1 ou menores que -1, então já temos uma delimitação no plano. Além disso, a montagem de todo gráfico sempre segue as etapas:
Veja:
Curiosamente, os valores do seno ficam variando entre -1, 0 e 1. Além disso, eles se repetem seguindo uma ordem: 0, 1, 0 e -1. Depois, continuam: 0, 1, 0 e -1… Ela é mesmo periódica! Como está em um formato de onda, dizemos que o período da função seno é 2π porque a ondulação começa no 0 e se repete após o 360°. Além disso, você pode ir recheando a lei dessa função com números que multiplicam ou dividem o x, vamos chamá-lo de k. Dessa forma, os possíveis valores da função podem ser expressados por (x + 2πk). A forma do seu gráfico recebe o nome de senóide. Função cossenoA função trigonométrica que chamamos de função cosseno é aquela que possui o cosseno na sua lei de formação, assim: y = cos(x) Isso significa que:
Quais são as características e propriedades da função cosseno?Imagem da função cossenoA Imagem da função cosseno, que são os possíveis valores de y, serão números entre -1 e 1. Isso porque o raio do ciclo trigonométrico é 1 e estamos falando de um universo onde consideramos os números do conjunto dos Reais. Assim: Im = {y ∈ R / -1 ≤ y ≤ 1} Domínio da função cossenoO domínio da função cosseno, que são os possíveis valores de x, serão infinitas possibilidades de números! Isso porque há infinitos valores de ângulos possíveis, como explicamos nos tópicos acima. Portanto: D = {x ∈ R} Interpretação dos quadrantes da função cossenoSe a função y = cos(x) é projetada nos valores do eixo x, então:
Onde a função cosseno é crescente e decrescente?Para saber isso, vamos usar o mesmo raciocínio desenvolvido anteriormente: Se pegarmos dois ângulos em ordem crescente e que pertencem ao primeiro quadrante, os resultados dos cossenos são decrescentes. Ex: cos 30° = 0,87 e cos 40° = 0,77. Porém, se pegarmos dois ângulos em ordem crescente e que sejam do terceiro quadrante, os resultados dos cossenos são crescentes. Ex: cos 190° = – 0,98 e cos 200° = – 0,94. Seguindo essa lógica, dizemos que:
Como interpretar o gráfico da função cosseno?Como já dissemos, a montagem de todo gráfico sempre segue as 5 etapas:
Assim:
Da mesma forma que a função seno, a função cosseno fica variando entre -1, 0 e 1. A diferença é que a função cosseno se repete em uma outra ordem: 1, 0, -1, 0. Portanto, dizemos que o período da função cosseno também é 2π. Sendo assim, podemos reescrever qualquer valor da função como (x + 2πk). Além disso, a forma do seu gráfico recebe o nome de cossenóide. Função tangenteA função trigonométrica que chamamos de função tangente é aquela que possui a tangente na sua lei de formação, assim: y = tg(x) Isso significa que:
Quais são as características e propriedades da função tangente?Imagem da função tangenteA Imagem da função tangente, que são os possíveis valores de y, serão infinitos números pertencentes aos reais! Isso porque a projeção do valor da tangente se dá na reta, que é infinita. Assim: Im = {y ∈ R} Domínio da função tangenteO domínio da função tangente, que são os possíveis valores de x, poderá ser qualquer valor com duas exceções: se tentarmos projetar a tangente de 90° e 270°, será impossível. Isso porque nos daria uma reta paralela, ou seja, não encontra a tangente e não há como medir. Portanto: D = {x ∈ R / x ≠ π / 2 + kπ, k ∈ Z} Interpretação dos quadrantes da função tangenteSe a função y = tg(x) é projetada nos valores da reta tangente, então:
Onde a função tangente é crescente e decrescente?Se aplicarmos o mesmo raciocínio que usamos para descobrir o crescimento das funções seno e o cosseno (nos tópicos anteriores), veremos que a função tangente é sempre crescente! Como interpretar o gráfico da função tangente?Como já dissemos, a montagem de todo gráfico sempre segue as 5 etapas que ensinamos nos tópicos acima. Vamos direto para a tabela. Para obter mais números, pegamos o ângulo notável 45° e seus equivalentes. Agora, temos uma tabela mais completa:
A função tangente se repete em uma outra ordem: 0, 1, (nada) e -1. Portanto, dizemos que o período da função tangente é apenas π. Sendo assim, podemos reescrever qualquer valor da função como (x + πk). Só precisamos de 4 passos para resolver uma função trigonométrica:
Exemplo de exercício de funções trigonométricas (resolvido)(Enem 2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra. A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela função: onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro. Na safra, o mês de produção máxima desse produto é: a) janeiro. b) abril. c) junho. d) julho. e) outubro. Solução da função trigonométrica:A questão pode parecer um monstro de sete cabeças, mas é mais simples do que aparenta! Veja só: Qual foi a pergunta central da questão? Ela perguntou qual era o mês de produção máxima. Mas a fórmula que foi dada é para calcular o preço.
De todo parágrafo inicial, o único dado que remete a algo matemático está no final: “com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra.” Em outras palavras, ele está dizendo que no mês em que a produção é maior, o preço por unidade é menor. Então, concluímos que devemos calcular o preço mínimo para encontrar o mês de produção máxima.
A função trigonométrica que foi dada é função cosseno. Ora, nós acabamos de ver ao longo do artigo que os valores da função cosseno só podem variar de -1 a 1. Portanto, o preço mínimo é aquele dado por um cosseno que vale -1. O cosseno de quem vale -1? Claramente, é o cos180°! Isso significa que tudo o que está dentro do parêntesis precisa ser igual a 180°. Como as informações dentro do parêntesis estão em radiano, nós precisamos usar o 180° em radianos, que é igual a π rad. Portanto: cos ([π.x – π] / 6) = -1 (π.x – π) / 6 = π π.x – π = 6π π.x = 6π + π π.x = 7π x = 7 A questão disse que os valores de x equivale aos meses, sendo que 1 = Janeiro. Portanto, 7 = ao mês de Julho, o mês de produção máxima! Quer revisar tudo o que aprendeu? Salva o Pin do Beduka que tem tudo resumidinho! Gostou do nosso artigo sobre o que são funções trigonométricas? Confira outros artigos do nosso blog e se prepare para o Enem da melhor maneira! Você também pode se organizar com o nosso plano de estudos, o mais completo da internet, e o melhor: totalmente gratuito! Queremos te ajudar a encontrar a FACULDADE IDEAL! Logo abaixo, faça uma pesquisa por curso e cidade que te mostraremos todas as faculdades que podem te atender. Informamos a nota de corte, valor de mensalidade, nota do MEC, avaliação dos alunos, modalidades de ensino e muito mais. Experimente agora! Qual a relação entre seno, cosseno e tangente?Relações trigonométricas
Seno (sen): razão entre os lados que formam um dos ângulos agudos (menor que 90°). Cosseno (cos): razão entre o valor do cateto adjacente e a medida da hipotenusa. Tangente (tg): razão entre o seno e o cosseno de um dado ângulo ou entre os catetos.
Como diferenciar gráfico de função seno é cosseno?Diferentemente da função seno, a função cosseno associa a cada número real x o eixo das abcissas do ponto correspondente à sua imagem P. Assim como na função seno, existe também uma alternância no sinal da função cosseno. No 1° e no 4° quadrantes, a função cosseno é positiva.
Como é o gráfico de uma função seno?O gráfico da função seno é limitado entre o intervalo [-1, 1] e possui partes crescentes e partes decrescentes. Ele é conhecido também como senoide.
Como é o gráfico da função tangente?Cada ponto do gráfico é da forma (x, tg x), pois a ordenada é sempre igual à tangente da abscissa, que é um número real que representa o comprimento do arco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos. O gráfico dessa função é o seguinte: O domínio da função tangente é e a imagem é o conjunto R.
|