Geralmente quando queremos determinar certos elementos de um conjunto, ordenamos esses elementos seguindo um determinado padrão. Dizemos que esse conjunto corresponde a uma sequencia ou sucessão. Elementos de uma sequencia podem ser de vários tipos. Veremos alguns exemplos propostos a seguir:
- A escalacão de um time de futebol escritos em ordem alfabética: (Deola, Marcio, Marcos, Kleber, Valdivia,...,Victor).
- Anos em que aconteceram os jogos panamericanos no período de 1991 a 2007: (1991, 1995, 1999, 2003, 2007)
- Sequência dos números primos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...)
Cada um desses elementos dos conjuntos que chamamos de sequência ou sucessões é denominado termo. Na sequência que anteriormente dizemos ser uma escalação de um time de futebol, Deola é o primeiro termo, Marcio o segundo termo, e assim por diante. De um modo geral , a representação dos termos de uma sequência é dada por uma letra e um índice que indica a posição do termo na sequência.
O primeiro termo da sequência, por exemplo, pode aparecer indicado como A1, O segundo termo por A2, o terceiro termo por A3 e assim sucessivamente. Além dessas definições de sequências indicamos também o n-ésimo termo conhecido também pela notação definida An. O elemento An (termo geral) pode representar qualquer termo da sequência assim quando formos nos referir por exemplo ao 15° termo da sequência, basta indicarmos por An=A15.
Indicamos também por An qualquer elemento que queremos tomar, pois An é conhecido principalmente por ser um termo de ordem n. A representação de uma sequência dada por definição é : (A1, A2, A3, A4, ..., An).
Se uma sequência qualquer possui o último termo dizemos que ela é uma sequência finita. Se essa sequência não possui o último termo, dizemos que é infinita. Veja os exemplos a seguir:
Sequência finitas
Números primos entre 2 e 29 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29); Posição relativa de times de futebol da primeira divisão do futebol brasileiro (1°, 2°, 3°, 4°, 5°, ..., 20°).
Sequências infinitas
Números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...); O conjunto entre todos os números primos (2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...); O conjunto de todos os números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...).
As sequências são os pré requisitos essenciais para compreendermos o estudo das progressões geométricas e progressões aritméticas, conhecidas usualmente com PA e PG. As progressões são sequências numéricas com algumas propriedades específicas e com alguns tratamentos particulares, a identificação e o conhecimento sobre o assunto de sequências e sucessões é uma ferramenta de grande auxílio no estudo de progressões.
Para definirmos o que é uma sequência dizemos que é todo conjunto de elementos numéricos ou não que são colocados em uma certa ordem.
Bibliografia:
Gelson Iezzi-Matemática vol único-Ensino médio.
Manoel Paiva-Matemática vol único-Ensino médio.
Dante-Matemática vol
único-Ensino médio.
Texto originalmente publicado em //www.infoescola.com/matematica/sequencias/
Breve relato histórico
Muitos são os nomes de pessoas que dedicaram suas vidas à descoberta e ao aperfeiçoamento da matemática. Elas são dos mais variados ramos do conhecimento humano, mas que compartilham entre si um desejo comum: o manuseio dos números e das formas. A matemática recebe, em sua plataforma de estudo, advogados, filósofos, físicos, químicos, engenheiros, matemáticos e muitos outros profissionais ou amantes desta ciência milenar, que é marcada pela importância no desenvolvimento planetário ou, ainda além, universal.
Em 1789, na cidade de Paris, França, nascia o professor, engenheiro e matemático Augustin-Louis Cauchy. Ele estudou na Escola Politécnica de Paris, onde depois tonou-se professor. Cauchy foi um dos mais importantes matemáticos de todos os tempos, tendo importantes descobertas, principalmente no campo da Matemática Pura. Pode-se afirmar que Cauchy é um dos fundadores do Cálculo com Variáveis Complexas, assim como tem papel marcante no Cálculo Elementar, Teoria dos Determinantes e nas Séries Infinitas, sendo estas responsáveis pelo desenvolvimento da Teoria das Funções.
Definindo sequência/sucessão
Observe a informação que darei a seguir e compreenda a ideia prática de sucessão ou sequência.
A Copa do Mundo de 2010, realizada na África do Sul, teve como campeã, ou seja, em primeiro lugar, a Espanha; no segundo lugar, a Holanda; no terceiro lugar a Alemanha e no quarto, Uruguai. Estes dados podem ser mais bem visualizados se utilizarmos representações de ordem. Vejam:
- 1° lugar – Espanha
- 2° lugar – Holanda
- 3° lugar – Alemanha
- 4° lugar – Uruguai
Sabendo destas informações, poderíamos escrever a ordem de classificação desta Copa da seguinte maneira: Espanha, Holanda, Alemanha, Uruguai. Ainda segundo essa ideia, temos, por exemplo, que os dias segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado, domingo, representam a sequência ou sucessão de dias de uma semana.
DEFINIÇÃO
Toda função/relação cujo domínio (conjunto de partida) é o conjunto dos números naturais é também uma sequência ou sucessão.
Sequência ou sucessão numérica
DEFINIÇÃO
Sequência numérica é uma sequência ou sucessão que tem como contradomínio (conjunto de chegada) o conjunto dos números reais.
As sequências numéricas podem ser finitas, quando é possível “contar” os seus elementos, ou infinitas, quanto não é possível “contar” os seus elementos. Visualize, nos dois casos, as representações matemáticas.
- Sequência finita: (a1, a2, a3, ..., an)
- Sequência infinita: (a1, a2, a3, ..., an,...)
Leitura dos termos acima:
- a1 → a índice 1 (primeiro termo)
- a2 → a índice 2 (segundo termo)
- a3 → a índice 3 (terceiro termo)
- an → a índice n (enésimo termo)
Veja exemplos de sequências finitas e infinitas:
- Sequência finita: (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)
- Sequência infinita (3, 5, 7, 11, 13, 17,...)
Verificação da aprendizagem
- Dada a sequência definida por an = 4n – 1, com n Є N*, calcule:
a) a3 – a1
Lembre-se de que o domínio desta sequência é N* (naturais não nulos), sendo assim, o primeiro termo (a1) é 1.
- Para n = 1, temos: a1 = 4x1 – 1 = 3
- Para n = 3, temos: a3 = 4x3 – 1 = 11
- a3 – a1 = 11 – 3 = 8
b) (a5)2 + (a6)2
Mais uma vez considerando que o conjunto domínio é N*, temos:
- Para n = 5, temos: a5 = 4x5 – 1 = 19
- Para n = 6, temos: a6 = 4x6 – 1 = 23
- 192 + 232 = 890
- Escreva os quatro primeiros termos das sequências dadas pelos termos gerais, sendo n Є N*.
a) an = 3n – 1
- Para n = 1, temos: a1 = 3x1 – 1 = 2
- Para n = 2, temos: a2 = 3x2 – 1 = 5
- Para n = 3, temos: a3 = 3x3 – 1 = 8
- Para n = 4, temos: a4 = 3x4 – 1 = 11
Conclusão: (2, 5, 8, 11)
b) an = 2n - 1
- Para n = 1, temos: a1 = 21 – 1 = 1
- Para n = 2, temos: a2 = 22 – 1 = 2
- Para n = 3, temos: a3 = 23 – 1 = 4
- Para n = 4, temos: a4 = 24 – 1 = 8
Conclusão: (1, 2, 4, 8)
Considerações finais
Aos caros leitores, deixo claro que este trabalho é apenas uma introdução ao conceito de sequência que, um pouco mais adiante, contemplará as ideias e operações das Progressões Aritméticas e/ou Geométricas, as famosas P.A e P.G. Ciente da importância dessas duas temáticas, escreverei sobre elas em meus próximos trabalhos. Porém, esta introdução deverá ser lida e estudada como pré-requisito a um estudo mais detalhado do tema em discussão.
“Cada passo dado num longo caminho reduz o espaço que nos separa da chegada”
(Robison Sá)
Referências bibliográficas
GIOVANNI, JOSÉ RUY. Matemática 2: progressões, matrizes, análise combinatória, geometria. São Paulo: FTD, 1992.
Copas do Mundo. Disponível em: //pt.fifa.com/worldcup/archive/index.html. Acesso em: 14 de junho de 2013.
Texto originalmente publicado em //www.infoescola.com/matematica/sequencias-numericas/