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Matemática 15 2. Fatore os polinômios. a) 9ab + 6b + 12ac + 8c b) xy + x – ay – a c) pq2 – q2r + pa – ar d) ax + 2x + 2a + 4 e) bx + cx + x + n + bn + cn f) 9a – 12 + 15a2 – 20a g) 2x2y – 6x2 + 3ay – 9a h) 12a3b – 12a3 – b + 1 3. Calcule o valor da expressão ax + bx + ay + by, sabendo que a + b = 41 e x + y = 48. Diferença de dois quadrados Você já estudou que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual à diferença dos quadrados de cada termo, isto é, (x + y) ⋅ (x − y) = x2 − y2. Vamos rever essa relação a partir dos dois quadrados com as medidas dos lados indicadas a seguir. b a a b Recortando a área ocupada pelo quadrado menor, obtemos essa figura de 6 lados: • Indique nessa figura as expressões que representam as medidas de cada um de seus lados. A área dessa figura pode ser calculada de diferentes maneiras. Vamos apresen- tar duas delas. 1ª. maneira: Note que a área da figura após o recorte do quadrado menor é igual à diferença entre a área do quadrado maior e a área do quadrado menor, isto é, a2 − b2. 2ª. maneira: Observe que a figura pode ser decomposta em dois re- tângulos. Reposicionamos um deles de modo que forme um único retângulo, como mostra a figura do lado. Veja que as medidas dos lados desse novo retângulo são a + b e a – b, e o produto (a + b) · (a – b) representa sua área. Perceba que a área desse retângulo é equivalente à área da figura de 6 lados. a a a – b a – b b b Incentive os alunos a calcular a área da figura decompondo-a em outras figuras nas quais é possível calcular sua área, de modo diferente do que está apresentado aqui. 10 Veja nas orientações didáticas outras duas possíveis resoluções. a) Qual é a área do quadrado maior? b) E do quadrado menor? a2 b2 c) Ao sobrepor o quadrado menor ao quadrado maior, de modo que dois lados do menor fiquem sobre dois lados do maior, coincidindo um vértice de cada quadrado, obtemos a figura a seguir. 9o. ano – Volume 316 1. Em cada item, escreva a expressão que representa a área da parte colorida da figura por meio de uma multiplicação de dois fatores. Dica: determine a diferença entre o quadrado de dois termos para depois identificar a forma fatorada dessa expressão. a) 2 m 2 m n n (2m)2 – n2 = (2m – n) · (2m + n) b) 10x 10x 2y3 2y3 (10x)2 – (2y3)2 = (10x + 2y3) · (10x – 2y3) 2. Em cada item é apresentada a diferença de dois quadrados. Escreva-os na forma fatorada, ou seja, como um produto da soma pela diferença de dois termos. a) x2 – 36 b) 100 – m2 c) 2,25c2 – 1,44d2 d) 16a4 – 1 e) a2b8 – c4 f) 81x4 – 64 g) 25 – 4a6 h) 1 4 2 4p q 3. Simplifique as expressões lembrando a fatoração do quadrado de dois termos. a) x x 2 4 2 � � , com x � �2 b) ( ) ( )x x x � � � � 1 1 1 , com x 1 c) x x 1 1 , com x maior do que zero e x 1 Com as duas maneiras de resolver a questão pedida, chegamos às expressões a2 − b2 e (a + b) · (a – b), que parecem ser diferentes, mas elas representam a mesma resposta, que é a área da figura de 6 lados. Assim, concluímos que: a2 − b2 = (a + b) · (a – b) Incentive os alunos a comparar esse desenvolvimento e o resultado obtido com o que se estudou a respeito do produto notável da soma pela diferença de dois termos. A expressão que indica a diferença de dois quadrados pode ser fatorada como um produto da soma pela diferença de dois termos. a2 – b2 = (a + b) · (a – b) Atividades 11 Gabaritos. Discuta com os alunos sobre as restrições apresentadas em cada item. Como em toda fração o denominador deve ser diferente de zero, por exemplo, a expressão do item a só fará sentido quando x� �2 0, ou seja, quando x ≠ –2. Trinômio quadrado perfeito Chamamos de trinômio o polinômio com três termos, certo? Mas o que significa um trinômio quadrado perfeito? Em anos anteriores, você estudou que números como 1, 4, 9, 16 e 25 são chamados de quadrados perfeitos, pois eles são os quadrados dos números 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. No caso do polinômio x2 + 2xy + y2, dizemos que ele é um trinômio quadrado perfeito, pois ele é o quadrado de x + y, isto é: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 Matemática 17 Do mesmo modo, dizemos que x2 – 2xy + y2 é um trinômio quadrado perfeito, porque ele é o quadrado de x – y. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 • A expressão (a + b)2 ou (a + b) · (a + b) é a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito a2 + 2ab + b2. • A expressão (a – b)2 ou (a – b) · (a – b) é a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito a2 – 2ab + b2. Matemática em detalhes Veja como é possível verificar se a expressão x2 + 10x + 25 é um trinômio quadrado perfeito. x2 + 10x + 25 (x)2 (5)2 2 · x · 5 • x2 é o quadrado de x • 10x = 2 · x · 5 é 2 vezes o produto • 25 é o quadrado de 5 entre x e 5 Assim: x2 + 10x + 25 = x2 + 2 · x · 5 + 52 x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 O sinal de mais (+) na frente da parcela 10x indica que o produto notável correspondente é (x + 5)2. Portanto, x2 + 10x + 25 é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é (x + 5)2. Caso o trinômio fosse x2 – 10x + 25, o procedimento para determinar os termos x e 5 seria o mesmo. E como o sinal de menos (–) acompanha a parcela –10x, isso nos mostra que agora o produto notável correspondente é (x – 5)2. Assim, x2 – 10x + 25 também é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é (x – 5)2. Seguindo esse mesmo raciocínio, vamos verificar se 49a2 – 14a + 4 é um trinômio quadrado perfeito. 49a2 – 14a + 4 (7a)2 ? (2)2 Nesse exemplo, temos: • 49a2 é o quadrado de 7a • 4 é o quadrado de 2 Perceba que deveríamos ter outra parcela que correspondesse a menos 2 vezes o produto entre 7a e 2, ou seja, –2 ⋅ 7a ⋅ 2 = –28a. Mas a única parcela que sobrou no trinômio é –14a. Como –14a ≠ –2 ⋅ 7a ⋅ 2, o trinômio 49a2 – 14a + 4 não é quadrado perfeito. Agora é com você! Verifique se o trinômio x x2 3 9 4 � � é um quadrado perfeito. Em caso positivo, escreva-o na forma fatorada. Como � � � ��2 3 2 3x x , o trinômio x x2 3 9 4 � � é um quadrado perfeito e sua forma fatorada é x�� � � � 3 2 2 .x x x 2 3 2 2 2 3 9 4 ( ) � � � � � � 9o. ano – Volume 318 Saiba + Você já estudou o resultado do quadrado da soma de dois termos, que é (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Até o momento, usamos essas expressões associadas a áreas de figuras planas, como quadrados e retângulos. E como seria o desenvolvimento do cubo da soma de dois termos, ou seja, de (a + b)3? Vamos começar com um exemplo envolvendo o cubo mágico. Esse quebra-cabeça tridimensional tem seis faces quadradas pintadas com cores diferentes. Normalmente, ele é montado na versão 3 × 3 × 3, como a da imagem ao lado, mas há versões diferentes. Veja algumas dessas versões a seguir. O objetivo desse quebra-cabeça é deixar cada face com uma única cor, como o cubo mágico ao lado. Vamos determinar o volume desse peque- no cubo cujas arestas estão destacadas em branco. Representando a medida da aresta por x, o volume do cubinho é dado pelo produto da medida da base pela medida da altura e da largura. Observe as medidas de outro cubo. A expressão (a + b)3 é chamada de cubo da soma de dois termos. © Sh ut te rs to ck / D nd _P ro je ct © Sh ut te rs to ck /S ur ad ec h Ji w ap or ns aw at ©Sh utte rsto ck/ Pete r Vra bel © Sh k/ S d h A medida da aresta desse cubo é a + b. Multiplicando as medidas do comprimento, da largura e da altura do cubo, obtemos seu volume, que é (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) = (a + b)3. ©Sh utte rsto ck/ bel x x x x ⋅ x ⋅ x = x3 b a a a b b Matemática 19 Podemos também determinar o volume desse cubo por meio da soma dos volumes das peças menores que o formam. Uma das possibilidades é decompor o cubo original em oito paralelepí- pedos. Veja: b a a a b b Observe a seguir as medidas das arestas de cada figura, a quantidade encontrada e o volume de cada uma. b ba b a b b b a a a a Volume = a3