É possível identificar na figura Os outros vértices do quadrado menor e do maior?

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• É possível identificar na figura Os outros vértices do quadrado menor?
• Qual é o número de vértices de um quadrado?
• Quais são as principais características de um quadrado?
• Quais são os tipos de quadrado?

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Matemática 15
 2. Fatore os polinômios. 
a) 9ab + 6b + 12ac + 8c
b) xy + x – ay – a
c) pq2 – q2r + pa – ar
d) ax + 2x + 2a + 4
e) bx + cx + x + n + bn + cn
f) 9a – 12 + 15a2 – 20a
g) 2x2y – 6x2 + 3ay – 9a
h) 12a3b – 12a3 – b + 1
 3. Calcule o valor da expressão ax + bx + ay + by, sabendo que a + b = 41 e x + y = 48. 
Diferença de dois quadrados
Você já estudou que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual à diferença dos quadrados de 
cada termo, isto é, (x + y) ⋅ (x − y) = x2 − y2. 
Vamos rever essa relação a partir dos dois quadrados com as medidas dos lados indicadas a seguir.
b
a
a
b
Recortando a área ocupada pelo quadrado menor, obtemos essa figura de 
6 lados:
• Indique nessa figura as expressões que representam as medidas de cada um 
de seus lados.
A área dessa figura pode ser calculada de diferentes maneiras. Vamos apresen-
tar duas delas. 
1ª. maneira: 
Note que a área da figura após o recorte do quadrado menor é igual à diferença entre a área do quadrado 
maior e a área do quadrado menor, isto é, a2 − b2.
2ª. maneira: 
Observe que a figura pode ser decomposta em dois re-
tângulos. Reposicionamos um deles de modo que forme 
um único retângulo, como mostra a figura do lado.
Veja que as medidas dos lados desse novo retângulo são 
a + b e a – b, e o produto (a + b) · (a – b) representa sua área. 
Perceba que a área desse retângulo é equivalente à área da 
figura de 6 lados.
a
a
a – b
a – b
b
b
Incentive os alunos a calcular a área da figura decompondo-a em outras figuras nas 
quais é possível calcular sua área, de modo diferente do que está apresentado aqui. 
10 Veja nas orientações didáticas outras duas possíveis resoluções.
a) Qual é a área do quadrado maior? 
b) E do quadrado menor? 
 a2
 b2
c) Ao sobrepor o quadrado menor ao quadrado maior, de modo que dois lados do menor fiquem sobre 
dois lados do maior, coincidindo um vértice de cada quadrado, obtemos a figura a seguir.
9o. ano – Volume 316
 1. Em cada item, escreva a expressão que representa a área da parte colorida da figura por meio de uma 
multiplicação de dois fatores. 
Dica: determine a diferença entre o quadrado de dois termos para depois identificar a forma fatorada 
dessa expressão. 
a) 2 m
2 m
n
n
(2m)2 – n2 = (2m – n) · (2m + n)
b) 10x
10x
2y3
2y3
(10x)2 – (2y3)2 = (10x + 2y3) · (10x – 2y3)
 2. Em cada item é apresentada a diferença de dois quadrados. Escreva-os na forma fatorada, ou seja, como 
um produto da soma pela diferença de dois termos.
a) x2 – 36 
b) 100 – m2 
c) 2,25c2 – 1,44d2 
d) 16a4 – 1 
e) a2b8 – c4 
f) 81x4 – 64 
g) 25 – 4a6 
h) 
1
4
2 4p q 
 3. Simplifique as expressões lembrando a fatoração do quadrado de dois termos.
a) x
x
2 4
2
�
�
, com x � �2 
b) 
( ) ( )x x
x
� � �
�
1 1
1
, com x 1
c) 
x
x
1
1
, com x maior do que zero e x 1
Com as duas maneiras de resolver a questão pedida, chegamos às expressões a2 − b2 e (a + b) · (a – b), 
que parecem ser diferentes, mas elas representam a mesma resposta, que é a área da figura de 6 lados. Assim, 
concluímos que:
a2 − b2 = (a + b) · (a – b)
Incentive os alunos a comparar esse desenvolvimento e o resultado obtido com o que se estudou a respeito do 
produto notável da soma pela diferença de dois termos.
A expressão que indica a diferença de dois quadrados pode ser fatorada 
como um produto da soma pela diferença de dois termos.
a2 – b2 = (a + b) · (a – b)
Atividades
11 Gabaritos.
Discuta com os alunos sobre as restrições apresentadas em cada item. Como em 
toda fração o denominador deve ser diferente de zero, por exemplo, a expressão 
do item a só fará sentido quando x� �2 0, ou seja, quando x ≠ –2. 
Trinômio quadrado perfeito
Chamamos de trinômio o polinômio com três termos, certo? Mas o que significa um trinômio quadrado perfeito?
Em anos anteriores, você estudou que números como 1, 4, 9, 16 e 25 são chamados de quadrados perfeitos, 
pois eles são os quadrados dos números 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. No caso do polinômio x2 + 2xy + y2, 
dizemos que ele é um trinômio quadrado perfeito, pois ele é o quadrado de x + y, isto é:
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
 Matemática 17
Do mesmo modo, dizemos que x2 – 2xy + y2 é um trinômio quadrado perfeito, porque ele é o quadrado 
de x – y. 
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
• A expressão (a + b)2 ou (a + b) · (a + b) é a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito a2 + 2ab + b2.
• A expressão (a – b)2 ou (a – b) · (a – b) é a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito a2 – 2ab + b2.
Matemática em detalhes
Veja como é possível verificar se a expressão x2 + 10x + 25 é um trinômio quadrado perfeito.
x2 + 10x + 25
(x)2 (5)2
2 · x · 5
• x2 é o quadrado de x • 10x = 2 · x · 5 é 2 vezes o produto • 25 é o quadrado de 5
 entre x e 5
Assim:
x2 + 10x + 25 = x2 + 2 · x · 5 + 52
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
O sinal de mais (+) na frente da parcela 10x indica que o produto notável correspondente é (x + 5)2. Portanto, 
x2 + 10x + 25 é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é (x + 5)2.
Caso o trinômio fosse x2 – 10x + 25, o procedimento para determinar os termos x e 5 seria o mesmo. E como 
o sinal de menos (–) acompanha a parcela –10x, isso nos mostra que agora o produto notável correspondente é 
(x – 5)2. Assim, x2 – 10x + 25 também é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é (x – 5)2.
Seguindo esse mesmo raciocínio, vamos verificar se 49a2 – 14a + 4 é um trinômio quadrado perfeito. 
49a2 – 14a + 4
(7a)2 ? (2)2
Nesse exemplo, temos:
• 49a2 é o quadrado de 7a • 4 é o quadrado de 2
Perceba que deveríamos ter outra parcela que correspondesse a menos 2 vezes o produto entre 7a e 2, ou seja, 
–2 ⋅ 7a ⋅ 2 = –28a. Mas a única parcela que sobrou no trinômio é –14a. Como –14a ≠ –2 ⋅ 7a ⋅ 2, o trinômio 
49a2 – 14a + 4 não é quadrado perfeito.
Agora é com você!
Verifique se o trinômio x x2 3
9
4
� � é um quadrado perfeito. Em caso positivo, escreva-o na forma fatorada.
Como � � � ��2
3
2
3x x , o trinômio x x2 3
9
4
� � é um quadrado perfeito e sua forma fatorada é x��
�
�
�
	
3
2
2
.x x
x
2
3
2
2
2
3
9
4
( )
� �
�
�
�
�
	
9o. ano – Volume 318
Saiba +
Você já estudou o resultado do quadrado da soma de dois termos, que é (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. 
Até o momento, usamos essas expressões associadas a áreas de figuras planas, como quadrados e 
retângulos. E como seria o desenvolvimento do cubo da soma de dois termos, ou seja, de 
(a + b)3?
Vamos começar com um exemplo envolvendo o cubo mágico. Esse 
quebra-cabeça tridimensional tem seis faces quadradas pintadas com 
cores diferentes. Normalmente, ele é montado na versão 3 × 3 × 3, como 
a da imagem ao lado, mas há versões diferentes. Veja algumas dessas 
versões a seguir.
O objetivo desse quebra-cabeça é deixar cada 
face com uma única cor, como o cubo mágico ao 
lado.
Vamos determinar o volume desse peque-
no cubo cujas arestas estão destacadas em 
branco. Representando a medida da aresta por 
x, o volume do cubinho é dado pelo produto 
da medida da base pela medida da altura e da 
largura. 
Observe as medidas de outro cubo.
A expressão (a + b)3 é chamada de cubo da soma de dois termos.
©
Sh
ut
te
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ck
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nd
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ct
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d
h
A medida da aresta desse cubo é a + b. Multiplicando as medidas do comprimento, da largura 
e da altura do cubo, obtemos seu volume, que é (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) = (a + b)3.
©Sh
utte
rsto
ck/
bel
x
x
x
x ⋅ x ⋅ x = x3
b
a
a
a
b b
 Matemática 19
Podemos também determinar o volume desse cubo por meio da soma dos volumes das peças 
menores que o formam. Uma das possibilidades é decompor o cubo original em oito paralelepí-
pedos. Veja:
b
a
a
a
b b
Observe a seguir as medidas das arestas de cada figura, a quantidade encontrada e o volume 
de cada uma.
b
ba
b
a
b
b b
a
a
a
a
Volume = a3

É possível identificar na figura Os outros vértices do quadrado menor?

Qual é o número de vértices de um quadrado?

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Quais são os tipos de quadrado?