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Material para trabalhar as habilidades:
EF09MA16: Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
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A distância entre dois pontos é determinada pela Geometria Analítica, responsável por estabelecer relações entre fundamentos geométricos e algébricos. As relações são intituladas com base num sistema de coordenadas cartesianas, que é constituído de dois eixos perpendiculares enumerados.
No plano cartesiano, qualquer ponto possui uma coordenada de localização, basta identificar o ponto e observar os valores primeiramente em relação ao eixo horizontal x (abscissa) e posteriormente em relação ao eixo vertical y (ordenada).
Nesse sistema de coordenadas podemos demarcar dois pontos e determinar a distância entre eles. Observe:
Observe que o triângulo formado é retângulo de catetos AC e BC e hipotenusa AB. Se aplicarmos o Teorema de Pitágoras nesse triângulo determinando a medida da hipotenusa estaremos também calculando a distância entre os pontos A e B. Vamos aplicar as propriedades da relação de Pitágoras no triângulo ABC, originando a expressão matemática responsável pela determinação da distância entre dois pontos em função de suas coordenadas.
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O Teorema de Pitágoras diz: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. No triângulo ABC temos que:
Cateto AC = x2 – x1
Cateto BC = y2 – y1
Exemplo 1
Qual a distância entre os pontos P(3, –3) e Q(–6, 2)?
A distância entre os pontos P e Q é igual a √106 unidades.
Exemplo 2
Determine a distância entre os pontos A(10, 20) e B(15, 6), localizados no sistema de coordenadas cartesianas.
Os pontos A e B se distanciam um do outro √221 unidades.
Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto:
Dizemos que a distância entre os pontos A e B é a medida do segmento de reta que liga o ponto A ao ponto B. Dessa forma, a distância entre dois pontos é um comprimento.
Essa medida pode ser obtida de diversas formas. As mais comuns são duas: medir o segmento de reta que liga os pontos distintos A e B utilizando alguma ferramenta que possui esse fim ou utilizar um resultado proveniente da Geometria Analítica.
Os instrumentos mais conhecidos que são utilizados para medir segmentos de reta são: régua, trena e fita métrica.
Já o resultado proveniente da Geometria Analítica depende da localização dos pontos A e B e baseia-se no cálculo do comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo.
Cálculo da distância entre dois pontos
Para calcular a distância entre os pontos A e B, devemos escolher pontos que possuem coordenadas quaisquer A (x1, y1) e B (x2, y2). Essas coordenadas representam a localização dos pontos A e B em um plano. A distância entre esses dois pontos é igual ao comprimento do segmento de reta na cor lilás na imagem a seguir.
Exemplo de pontos A e B, com suas localizações e coordenadas no plano
O cálculo dessa distância é feito por meio da seguinte fórmula:
Fórmula utilizada para calcular a distância entre dois pontos
Para utilizá-la, basta substituir os valores numéricos das coordenadas dos pontos A e B nos locais indicados na fórmula e realizar os cálculos.
Exemplos
1 – Calcule a distância entre os pontos A(1,1) e B(1,4).
Primeiramente, mostraremos por meio do plano cartesiano que dAB = 3. Observe a figura a seguir:
Exemplo de cálculo entre os
pontos A(1,1) e B(1,4)
Agora, vamos mostrar que, utilizando a fórmula para o cálculo de distância entre dois pontos, encontraremos que a distância entre A e B (dAB) é igual a 3. Observe:
Cálculos
feitos a partir das coordenadas dos pontos A e B resultando na distância entre A e B
Exemplo 2 – Calcule a distância entre os pontos A(– 2, 4) e B(2,2).
Não é necessário fazer qualquer desenho para calcular a distância entre dois pontos, pois basta ter em mãos as coordenadas de dois pontos quaisquer do plano e utilizar a fórmula proposta acima. Observe:
Cálculo utilizado para encontrar a distância entre os pontos A e B
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto: