Calcule a medida do lado x do triângulo abaixo sabendo que o ângulo oposto a ele mede 60°.

A partir da lei dos cossenos, dada pela fórmula abaixo, teremos: x2 = a2 + b2 – 2·a·b·cosα Sabendo que o ângulo oposto a x mede 60° e que as medidas de a e b são 13, teremos: x2 = 132 + 132 – 2·13·13·cos60 x2 = 169 + 169 – 2·13·13·cos60 x2 = 169 + 169 – 2·169·1/2 Colocando 169 em evidência: x2 = 169(1 + 1 – 2·1/2) x2 = 169(1 + 1 – 1) x2 = 169(1) x2 = 169 x = √169 x = 13

Num triângulo ABC, dois lados medem 4 cm e 3*√3 cm. O ângulo formado por esses lados mede 30 graus. A medida do lado oposto a esse ângulo, em cm, vale quanto ? Utilize a Lei dos cossenos:

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RAZÕES TRIGONOMÉTRICA SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO No triângulo retângulo definem-se:

EXERCÍCIO RESOLVIDO Calcular o seno, o cosseno e a tangente do ângulo aslfa

Observações: O seno e o cosseno são sempre números reais menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hopotenusa. A tagente é um número real positivo. EXERCÍCIOS 1) No triângulo da figura calcule:

2) No triângulo retângulo da figura calcule:

3) No triângulo retângulo da figura calcule:

TABELA DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Os valores aproximados dos senos, cossenos e tangentes dos ângulos de 1º a 89º são encontraods na tabela a seguir. Uso da tabela Com a tabela podemos resolver dois tipos de problemas: Dado o ângulo, determinar a razão trigonométrica. exemplos: 1) Calcule sen15º Na coluna ângulo, achamos 0,2588. Assim sen 15º = 0,2588. 2) Calcule tg 50º Na coluna ângulo, procuramos 50º Na coluna tangente, achamos 1,1918 Assim tg 50º = 1,1918 Dada a razão trigonométrica, determinar o ângulo Exemplo Calcule o ângulo x, sendo cosx = 0,4226 Na coluna cosseno, procuramos 0,4226 Na coluna ângulo, achamos 65º Assim x = 65º

EXERCÍCIOS

1) Consulte a tabela e enconctre o valor de:

2) Consulte a tabela e responda:

3) Consulte a tabela e determine o ângulo x:

ÂNGULOS NOTÁVEIS As razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º aparecem frequentemente no problemas. Por isso, vamos apresentar essas razões na forma fracionária.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Calcular o valor de x no triângulo retângulo da figura abaixo.

2) Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja a hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60º

EXERCÍCIOS

1) Calcule o valor de x em cada um dos triângulos:

Resposta:

A medida do lado x é 13.

Explicação passo-a-passo:

O triângulo que você mostrou é um triângulo equilátero, o que significa que todos os seus lados são iguais (têm a mesma medida). Você poderia perceber isso só olhando para o triângulo (embora isso exija um pouco de prática com geometria), ou utilizando uma fórmula chamada Lei dos Cossenos:

A Lei dos Cossenos diz que um lado (x) de um triângulo qualquer pode ser calculado a partir dos seus outros dois lados (a e b) e do cosseno do ângulo () oposto ao lado (x).

Substituindo os valores...

Estes exercícios comentados abordam a lei dos cossenos e algumas das propriedades e definições dos triângulos nos quais essa lei pode ser usada. Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva

(UF- Viçosa) Dois lados de um terreno de forma triangular medem 15 m e 10 m, formando um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo:

O comprimento do muro necessário para cercar o terreno, em metros, é:

a) 5(5 + √15)

b) 5(5 + √5)

c) 5(5 + √13)

d) 5(5 + √11)

e) 5(5 + √7)

(UF- Juiz de Fora) Dois lados de um triângulo medem 8 m e 10 m e formam um ângulo de 60°. O terceiro lado desse triângulo mede:

a) 2√21 m

b) 2√31 m

c) 2√41 m

d) 2√51 m

e) 2√61 m

Calcule a medida do lado x do triângulo abaixo sabendo que o ângulo oposto a ele mede 60°.

a) 9

b) 10

c) 11

d) 12

e) 13

Qual é a medida do lado oposto ao ângulo de 30°, em um triângulo, sabendo que os outros dois lados medem 2 e √3?

a) 1

b) 1,5

c) 2

d) 2,5

e) 3

respostas

O comprimento do muro necessário para cercar o terreno é igual ao seu perímetro. Para esse cálculo, basta somar os comprimentos do lado do triângulo.

10 + 15 + x

O valor de x pode ser encontrado por meio da lei dos cossenos:

x2 = 102 + 152 – 2·10·15·cos60°

x2 = 100 + 225 – 2·150·cos60°

x2 = 325 – 300·1/2

x2 = 325 – 150

x2 = 175

x = √175

x = √[5·35]

x = √[5·5·7]

x = √[52·7]

x = 5√7

Logo, a soma que representa o perímetro desse triângulo é:

10 + 15 + x

25 + 5√7

5·5 + 5√7

5(5 + √7)

Gabarito: Letra E.

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Geralmente, o melhor caminho para resolver exercícios que apresentam dois lados e um ângulo entre eles de um triângulo é a lei dos cossenos. O lado oposto ao ângulo será x e todos esses lados serão colocados na fórmula seguinte:

x2 = a2 + b2 – 2·a·b·cosα

*a e b são os lados que formam o ângulo α. Substituindo os valores nessa fórmula, teremos:

x2 = 82 + 102 – 2·8·10·cos60

x2 = 64 + 100 – 2·80·1/2

x2 = 164 – 2·40

x2 = 164 – 80

x2 = 84

x = √84

x = √[2·2·21]

x = 2√21

O terceiro lado desse triângulo mede 2√21. Gabarito: Letra A.

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A partir da lei dos cossenos, dada pela fórmula abaixo, teremos:

x2 = a2 + b2 – 2·a·b·cosα

Sabendo que o ângulo oposto a x mede 60° e que as medidas de a e b são 13, teremos:

x2 = 132 + 132 – 2·13·13·cos60

x2 = 169 + 169 – 2·13·13·cos60

x2 = 169 + 169 – 2·169·1/2

Colocando 169 em evidência:

x2 = 169(1 + 1 – 2·1/2)

x2 = 169(1 + 1 – 1)

x2 = 169(1)

x2 = 169

x = √169

x = 13

Outra forma de resolver esse problema: sabendo que um triângulo equilátero possui todos os lados e ângulos iguais e que seus ângulos são iguais a 60°, é possível mostrar pelo caso LAL que o triângulo do exercício é congruente a um triângulo equilátero de lado 13. Logo, o último lado também mede 13.

Gabarito: Letra E.

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Seja o lado oposto ao ângulo de 30° igual a x, podemos usar a lei dos cossenos para descobrir seu valor. Para tanto:

x2 = a2 + b2 – 2·a·b·cosα

x2 = 22 + (√3)2 – 2·2·√3·cos30

x2 = 4 + 3 – 2·2·√3·√3/2

x2 = 7 – 4·3/2

x2 = 7 – 12/2

x2 = 7 – 6

x2 = 1

x = 1

O lado oposto ao ângulo de 30° mede 1. Gabarito: Letra A.