Um triângulo é uma figura geométrica que possui três lados, três ângulos e três vértices. Os triângulos possuem diversas propriedades, uma delas diz respeito aos seus ângulos internos: independentemente das dimensões do triângulo, do seu formato, do comprimento de seus lados ou da medida de seus ângulos internos, a soma desses ângulos internos sempre será igual a 180°.
Em outras palavras, se ABC é um triângulo, e a, b e c são seus ângulos internos, como podemos exemplificar com a imagem a seguir:
Então, podemos escrever corretamente a soma:
a + b + c = 180°
Geralmente, essa igualdade não é usada para descobrir que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, mas sim para determinar a medida de um dos ângulos internos de um triângulo, quando as medidas dos outros dois são conhecidas.
Exemplo: Qual a medida do terceiro ângulo interno de um triângulo que possui dois ângulos internos iguais a 30° e a 90°?
Solução:
30° + 90° + x = 180°
x = 180° – 30° – 90°
x = 60°
O terceiro ângulo mede 60°.
Demonstração
Considere o triângulo ABC, com ângulos a, b e c, como o da figura a seguir:
Construa sobre o ponto C uma reta paralela ao lado AB desse triângulo.
Reta paralela ao lado AB no triângulo ABC
Observe que os lados AC e BC podem ser encarados como retas transversais, que cortam as duas retas paralelas. Os ângulos x e y formados nessa construção são, respectivamente, alternos internos com os ângulos a e b. Assim, x = a e y = b.
Agora, note que a soma x + c + y = 180°, pois os três ângulos são adjacentes e seus limites são a reta paralela ao lado AB. Assim, substituindo os valores de x e y, teremos:
a + b + c = 180°
Exemplos:
1º Exemplo – Determine a medida de cada um dos três ângulos internos do triângulo a seguir.
Solução:
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, basta fazer:
x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°
x = 180°
6
x = 30°
Como os ângulos internos são múltiplos de x, cada um deles mede:
x = 30°,
2x = 60° e
3x = 90°
2º Exemplo – Um triângulo tem um de seus ângulos internos com a medida exatamente igual ao triplo das medidas dos outros dois, que são congruentes. Quanto mede cada um dos ângulos internos desse triângulo?
Solução:
Para resolver esse problema, considere que os dois ângulos congruentes medem x e o outro ângulo mede 3x. Como a soma dos ângulos internos é igual a 180°, teremos:
x + x + 3x = 180°
5x = 180°
x = 180°
5
x = 36°.
Como x é a medida dos dois ângulos congruentes, já sabemos que eles medem 36°. O terceiro ângulo é o triplo disso, portanto, mede:
3x = 3·36 = 108°
Videoaula relacionada:
Respostas
Resposta Questão 1
Independentemente do polígono a que o exercício ou situação se refira, a soma dos seus ângulos internos tem valor fixo e é dada pela fórmula S = (n – 2)·180, em que n é o número de lados do polígono. Logo,
Soma dos ângulos internos do triângulo:
S = (3 – 2)·180
S = 1·180
S = 180°
Qualquer que seja o triângulo, a soma de seus ângulos internos sempre será igual a 180°. Isso pode ser usado quando conhecemos as medidas de dois dos ângulos internos de um triângulo e é necessário calcular o valor da última.
Soma dos ângulos internos de um retângulo:
S = (4 – 2)·180
S = 2·180
S = 360°
Não só retângulos, mas qualquer que seja o quadrilátero, a soma de seus ângulos internos será 360°.
Resposta Questão 2
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é dada por:
S = (n – 2)·180
Sabendo que o número de lados da figura é 4, basta substituir n por 4:
S = (4 – 2)·180
S = 2·180
S = 360°
Agora some os ângulos internos dessa figura e iguale o resultado a 360°:
2x + 4x + 2x + 4x = 360
12x = 360
x = 360
12
x = 30
Agora basta substituir x em cada ângulo para descobrir os seus valores.
4x = 4·30 = 120° e
2x = 2·30 = 60°
Os ângulos são 120° e 60°.
Resposta Questão 3
Na ponta da estrela onde está destacado o ângulo θ, temos o encontro de três ângulos internos de pentágonos regulares. Para descobrir a medida de cada um desses ângulos, basta calcular a soma dos ângulos internos do pentágono e dividir por 5.
A fórmula para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono é:
S = (n – 2)·180
*n é o número de lados do polígono. No caso desse exercício:
S = (5 – 2)·180
S = 3·180
S = 540
Dividindo a soma dos ângulos internos por 5, pois um pentágono possui cinco ângulos internos, encontraremos 108° como medida de cada ângulo interno.
Observe na imagem anterior que a soma de três ângulos internos do pentágono com o ângulo θ tem como resultado 360°.
108 + 108 + 108 + θ = 360
324 + θ = 360
θ = 360 – 324
θ = 36°
Letra D.
Resposta Questão 4
Heptágonos são figuras geométricas que possuem sete lados, sete vértices e sete ângulos. Como esse heptágono é regular, então todos os seus ângulos e lados possuem a mesma medida.
A soma dos ângulos internos do heptágono é:
S = (n – 2)·180
S = (7 – 2)·180
S = 5·180
S = 900°
Cada ângulo interno do heptágono regular mede a soma dos ângulos internos dividida por 7.
900 = 128,57
7
Agora, resta apenas descobrir o valor de um ângulo externo. Os ângulos externos de um polígono são suplementares aos ângulos internos respectivos. Portanto, a soma entre um ângulo interno e seu ângulo externo tem como resultado 180°. Dessa forma, os ângulos externos da moeda de 25 centavos medem:
128,57 + x = 180
x = 180 – 128,57
x = 51,43°
Letra E.